Алгебра Примеры

$\frac{y + 1}{y - 5} + \frac{10}{y + 5} = \frac{y + 1}{y - 5} \cdot \frac{10}{y + 5}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{y + 1}{y - 5}$ на $\frac{10}{y + 5}$ .

$\frac{y + 1}{y - 5} + \frac{10}{y + 5} = \frac{y + 1}{y - 5} \cdot \frac{10}{y + 5}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{y + 1}{y - 5}$ на $\frac{10}{y + 5}$ .

$\frac{y + 1}{y - 5} + \frac{10}{y + 5} = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 5, y + 5, (y - 5) (y + 5)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y - 5$ является само значение $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y + 5$ является само значение $y + 5$ .

$(y + 5) = y + 5$

$(y + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y - 5$ является само значение $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $y + 5$ является само значение $y + 5$ .

$(y + 5) = y + 5$

$(y + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $y - 5, y + 5, y - 5, y + 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 5) (y + 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{y + 1}{y - 5} + \frac{10}{y + 5} = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)}$ умножим на $(y - 5) (y + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{y + 1}{y - 5} + \frac{10}{y + 5} = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)}$ на $(y - 5) (y + 5)$ .

$\frac{y + 1}{y - 5} ((y - 5) (y + 5)) + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{y - 5} ((y - 5) (y + 5)) + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(y + 1) (y + 5) + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(y + 1) (y + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (y + 5) + 1 (y + 5) + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot 5 + 1 (y + 5) + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot 5 + 1 y + 1 \cdot 5 + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + y \cdot 5 + 1 y + 1 \cdot 5 + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$y^{2} + 5 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 5 + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} + 5 y + y + 1 \cdot 5 + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$y^{2} + 5 y + y + 5 + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $5 y$ и $y$ .

$y^{2} + 6 y + 5 + \frac{10}{y + 5} ((y - 5) (y + 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $y + 5$ из $(y - 5) (y + 5)$ .

$y^{2} + 6 y + 5 + \frac{10}{y + 5} ((y + 5) (y - 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} + 6 y + 5 + \frac{10}{y + 5} ((y + 5) (y - 5)) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 6 y + 5 + 10 (y - 5) = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 6 y + 5 + 10 y + 10 \cdot - 5 = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $10$ на $- 5$ .

$y^{2} + 6 y + 5 + 10 y - 50 = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $6 y$ и $10 y$ .

$y^{2} + 16 y + 5 - 50 = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $50$ из $5$ .

$y^{2} + 16 y - 45 = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(y - 5) (y + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} + 16 y - 45 = \frac{(y + 1) \cdot 10}{(y - 5) (y + 5)} ((y - 5) (y + 5))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 16 y - 45 = (y + 1) \cdot 10$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 16 y - 45 = y \cdot 10 + 1 \cdot 10$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перенесем $10$ влево от $y$ .

$y^{2} + 16 y - 45 = 10 \cdot y + 1 \cdot 10$

Этап 3.3.3.2

Умножим $10$ на $1$ .

$y^{2} + 16 y - 45 = 10 y + 10$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $10 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 16 y - 45 - 10 y = 10$

Этап 4.1.2

Вычтем $10 y$ из $16 y$ .

$y^{2} + 6 y - 45 = 10$

Этап 4.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 6 y - 45 - 10 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $10$ из $- 45$ .

$y^{2} + 6 y - 55 = 0$

Этап 4.4

Разложим $y^{2} + 6 y - 55$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 55$ , а сумма — $6$ .

$- 5, 11$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 5) (y + 11) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 11 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 4.7

Приравняем $y + 11$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $y + 11$ к $0$ .

$y + 11 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$y = - 11$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 5) (y + 11) = 0$ верно.

$y = 5, - 11$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{y + 1}{y - 5} + \frac{10}{y + 5} = \frac{y + 1}{y - 5} \cdot \frac{10}{y + 5}$ истинным.

$y = - 11$