Алгебра Примеры

$\frac{{(x - 5)}^{2} (x + 3)}{x - 6} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

${(x - 5)}^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 2

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 5$

$x = - 3$

$x = 6$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 5, - 3, 6$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{{(x - 5)}^{2} (x + 3)}{x - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{{(x - 5)}^{2} (x + 3)}{x - 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 6 = 0$

Этап 8.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 5$

$5 < x < 6$

$x > 6$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{((- 6) - 5)}^{2} ((- 6) + 3)}{(- 6) - 6} \geq 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $30.25$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{((0) - 5)}^{2} ((0) + 3)}{(0) - 6} \geq 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 12.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $5 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $5 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5.5$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $5.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{((5.5) - 5)}^{2} ((5.5) + 3)}{(5.5) - 6} \geq 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 4.25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{((8) - 5)}^{2} ((8) + 3)}{(8) - 6} \geq 0$

Этап 10.4.3

Левая часть $49.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 5$ Ложь

$5 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 5$ Ложь

$5 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x > 6$ или $x = 5$

Этап 12

Объединим интервалы.

$x \leq - 3 or x = 5 or x > 6$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 3 or x = 5 or x > 6$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3] \cup [5, 5] \cup (6, \infty)$

Этап 14