Алгебра Примеры

$y = 4 \sqrt{x + 3}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 4 \sqrt{y + 3}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $4 \sqrt{y + 3} = x$ .

$4 \sqrt{y + 3} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $4 \sqrt{y + 3} = x$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $4 \sqrt{y + 3} = x$ на $4$ .

$\frac{4 \sqrt{y + 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{y + 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\sqrt{y + 3}$ на $1$ .

$\sqrt{y + 3} = \frac{x}{4}$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 3}$ в виде ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 3)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$y + 3 = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{4}$ .

$y + 3 = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Этап 2.4.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y + 3 = \frac{x^{2}}{16}$

Этап 2.5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{x^{2}}{16} - 3$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$ обратной к $f (x) = 4 \sqrt{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{{(4 \sqrt{x + 3})}^{2}}{16} - 3$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{4^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2}}{16} - 3$

Этап 4.2.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {\sqrt{x + 3}}^{2}}{16} - 3$

Этап 4.2.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ в виде $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} - 3$

Этап 4.2.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} - 3$

Этап 4.2.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{16} - 3$

Этап 4.2.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{16} - 3$

Этап 4.2.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Этап 4.2.3.1.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Этап 4.2.3.2.2

Разделим $x + 3$ на $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{16} - 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{(\frac{x^{2}}{16} - 3) + 3}$

Этап 4.3.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{16} + 0}$

Этап 4.3.4

Добавим $\frac{x^{2}}{16}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{16}}$

Этап 4.3.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Этап 4.3.6

Перепишем $\frac{x^{2}}{4^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{{(\frac{x}{4})}^{2}}$

Этап 4.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Этап 4.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$ — обратная к $f (x) = 4 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$