Алгебра Примеры

$x^{6} - 9 x^{4} - x^{2} + 9 = 0$

Этап 1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{6} - 9 x^{4}) - x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{4} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) = 0$

Этап 2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x^{2} - 9$ .

$(x^{2} - 9) (x^{4} - 1) = 0$

Этап 3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{4} - 1) = 0$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{4} - 1) = 0$

Этап 5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 3) (x - 3) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Этап 6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x + 3) (x - 3) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Этап 8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Этап 8.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Этап 8.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 11

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 11.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 12

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 12.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 12.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 12.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 12.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 12.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 13

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 14

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 14.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, i, - i, - 1, 1$