Алгебра Примеры

$\log_{2} (x^{2} - 7) - \log_{2} (x + 5) = 0$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{x^{2} - 7}{x + 5}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} - 7 = 2^{0} (x + 5)$

Этап 4

Упростим $2^{0} (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} - 7 = 1 (x + 5)$

Этап 4.2

Умножим $x + 5$ на $1$ .

$x^{2} - 7 = x + 5$

Этап 5

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 7 - x = 5$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - x = 5 + 7$

Этап 6.2

Добавим $5$ и $7$ .

$x^{2} - x = 12$

Этап 7

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 12 = 0$

Этап 8

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 10

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 10.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 11

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 11.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 4, - 3$