Алгебра Примеры

$\frac{2}{x + 2} + \frac{1}{10} = \frac{3}{x + 3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, 10, x + 3$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

У $10$ есть множители: $2$ и $5$ .

$2 \cdot 5$

Этап 1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.6

НОК $1, 10, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 5$

Этап 1.7

Умножим $2$ на $5$ .

$10$

Этап 1.8

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.10

НОК $x + 2, x + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x + 3)$

Этап 1.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$10 (x + 2) (x + 3)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2}{x + 2} + \frac{1}{10} = \frac{3}{x + 3}$ умножим на $10 (x + 2) (x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x + 2} + \frac{1}{10} = \frac{3}{x + 3}$ на $10 (x + 2) (x + 3)$ .

$\frac{2}{x + 2} (10 (x + 2) (x + 3)) + \frac{1}{10} (10 (x + 2) (x + 3)) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x + 3)) + \frac{1}{10} (10 (x + 2) (x + 3)) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.2

Умножим $10 \frac{2}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Объединим $10$ и $\frac{2}{x + 2}$ .

$\frac{10 \cdot 2}{x + 2} ((x + 2) (x + 3)) + \frac{1}{10} (10 (x + 2) (x + 3)) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{20}{x + 2} ((x + 2) (x + 3)) + \frac{1}{10} (10 (x + 2) (x + 3)) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{x + 2} ((x + 2) (x + 3)) + \frac{1}{10} (10 (x + 2) (x + 3)) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$20 (x + 3) + \frac{1}{10} (10 (x + 2) (x + 3)) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x + 20 \cdot 3 + \frac{1}{10} (10 (x + 2) (x + 3)) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $20$ на $3$ .

$20 x + 60 + \frac{1}{10} (10 (x + 2) (x + 3)) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.6

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Вынесем множитель $10$ из $10 (x + 2) (x + 3)$ .

$20 x + 60 + \frac{1}{10} (10 ((x + 2) (x + 3))) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$20 x + 60 + \frac{1}{10} (10 ((x + 2) (x + 3))) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$20 x + 60 + (x + 2) (x + 3) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.7

Развернем $(x + 2) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x + 60 + x (x + 3) + 2 (x + 3) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x + 60 + x \cdot x + x \cdot 3 + 2 (x + 3) = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x + 60 + x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3 = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$20 x + 60 + x^{2} + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3 = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.8.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$20 x + 60 + x^{2} + 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 3 = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.8.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$20 x + 60 + x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.1.8.2

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$20 x + 60 + x^{2} + 5 x + 6 = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $20 x$ и $5 x$ .

$25 x + 60 + x^{2} + 6 = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $60$ и $6$ .

$25 x + x^{2} + 66 = \frac{3}{x + 3} (10 (x + 2) (x + 3))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 x + x^{2} + 66 = 10 \frac{3}{x + 3} ((x + 2) (x + 3))$

Этап 2.3.2

Умножим $10 \frac{3}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $10$ и $\frac{3}{x + 3}$ .

$25 x + x^{2} + 66 = \frac{10 \cdot 3}{x + 3} ((x + 2) (x + 3))$

Этап 2.3.2.2

Умножим $10$ на $3$ .

$25 x + x^{2} + 66 = \frac{30}{x + 3} ((x + 2) (x + 3))$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x + 2) (x + 3)$ .

$25 x + x^{2} + 66 = \frac{30}{x + 3} ((x + 3) (x + 2))$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель.

$25 x + x^{2} + 66 = \frac{30}{x + 3} ((x + 3) (x + 2))$

Этап 2.3.3.3

Перепишем это выражение.

$25 x + x^{2} + 66 = 30 (x + 2)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x + x^{2} + 66 = 30 x + 30 \cdot 2$

Этап 2.3.5

Умножим $30$ на $2$ .

$25 x + x^{2} + 66 = 30 x + 60$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $30 x$ из обеих частей уравнения.

$25 x + x^{2} + 66 - 30 x = 60$

Этап 3.1.2

Вычтем $30 x$ из $25 x$ .

$- 5 x + x^{2} + 66 = 60$

Этап 3.2

Вычтем $60$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x + x^{2} + 66 - 60 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $60$ из $66$ .

$- 5 x + x^{2} + 6 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$- 5 u + u^{2} + 6 = 0$

Этап 3.4.2

Разложим $- 5 u + u^{2} + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 3.4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 3, 2$