Алгебра Примеры

Solve $\sqrt{2 x + 21} = \sqrt{2 x} + 3$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x + 21}}^{2} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 21}$ в виде ${(2 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 21)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 x + 21)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 21)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 21)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 21)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 21)}^{1} = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 x + 21 = {(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{2 x} + 3)}^{2}$ в виде $(\sqrt{2 x} + 3) (\sqrt{2 x} + 3)$ .

$2 x + 21 = (\sqrt{2 x} + 3) (\sqrt{2 x} + 3)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(\sqrt{2 x} + 3) (\sqrt{2 x} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 21 = \sqrt{2 x} (\sqrt{2 x} + 3) + 3 (\sqrt{2 x} + 3)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 21 = \sqrt{2 x} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 (\sqrt{2 x} + 3)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 21 = \sqrt{2 x} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$2 x + 21 = {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$2 x + 21 = {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x + 21 = {\sqrt{2 x}}^{1 + 1} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x + 21 = {\sqrt{2 x}}^{2} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 21 = {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 21 = {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x + 21 = {(2 x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 21 = {(2 x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x + 21 = {(2 x)}^{1} + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$2 x + 21 = 2 x + \sqrt{2 x} \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{2 x}$ .

$2 x + 21 = 2 x + 3 \cdot \sqrt{2 x} + 3 \sqrt{2 x} + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$2 x + 21 = 2 x + 3 \sqrt{2 x} + 3 \sqrt{2 x} + 9$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $3 \sqrt{2 x}$ и $3 \sqrt{2 x}$ .

$2 x + 21 = 2 x + 6 \sqrt{2 x} + 9$

Этап 3

Решим относительно $6 \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x + 6 \sqrt{2 x} + 9 = 2 x + 21$ .

$2 x + 6 \sqrt{2 x} + 9 = 2 x + 21$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $6 \sqrt{2 x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{2 x} + 9 = 2 x + 21 - 2 x$

Этап 3.2.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{2 x} = 2 x + 21 - 2 x - 9$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в $2 x + 21 - 2 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$6 \sqrt{2 x} = 0 + 21 - 9$

Этап 3.2.3.2

Добавим $0$ и $21$ .

$6 \sqrt{2 x} = 21 - 9$

Этап 3.2.4

Вычтем $9$ из $21$ .

$6 \sqrt{2 x} = 12$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(6 \sqrt{2 x})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(6 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

${(6 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Применим правило умножения к $6 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 \cdot 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Применим правило умножения к $6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$36 \cdot 2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.5

Найдем экспоненту.

$36 \cdot 2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $36$ на $2$ .

$72 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$72 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$72 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$72 x^{1} = 12^{2}$

Этап 5.2.1.8

Упростим.

$72 x = 12^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$72 x = 144$

Этап 6

Разделим каждый член $72 x = 144$ на $72$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $72 x = 144$ на $72$ .

$\frac{72 x}{72} = \frac{144}{72}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{72 x}{72} = \frac{144}{72}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{144}{72}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим $144$ на $72$ .

$x = 2$