Алгебра Примеры

$2 \sqrt{x + 3} \leq 8$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} \leq 8^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 8^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 8^{2}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 3)}^{1} \leq 8^{2}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 3) \leq 8^{2}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 3 \leq 8^{2}$

Этап 2.2.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$4 x + 12 \leq 8^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$4 x + 12 \leq 64$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $12$ из обеих частей неравенства.

$4 x \leq 64 - 12$

Этап 3.1.2

Вычтем $12$ из $64$ .

$4 x \leq 52$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 x \leq 52$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 x \leq 52$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{52}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{52}{4}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{52}{4}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $52$ на $4$ .

$x \leq 13$

Этап 4

Найдем область определения $2 \sqrt{x + 3} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 3 \geq 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 3$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 3, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 13$

$x > 13$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{(- 6) + 3} \leq 8$

Этап 6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 13$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 13$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{(0) + 3} \leq 8$

Этап 6.2.3

Левая часть $3.46410161$ меньше правой части $8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 13$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 13$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 16$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $16$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{(16) + 3} \leq 8$

Этап 6.3.3

Левая часть $8.71779788$ больше правой части $8$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 13$ Истина

$x > 13$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 13$ Истина

$x > 13$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq 13$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 3 \leq x \leq 13$

Интервальное представление:

$[- 3, 13]$

Этап 9