Алгебра Примеры

$x^{2} + y^{2} \leq 49$ $x^{2} - 4 y^{2} > 16$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$y^{2} \leq 49 - x^{2}$

Этап 1.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{49 - x^{2}}$

Этап 1.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | \leq \sqrt{49 - x^{2}}$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим $\sqrt{49 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 7$ и $b = x$ .

$| y | \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 1.4

Запишем $| y | \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$y \geq 0$

Этап 1.4.2

В части, где $y$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 1.4.3

Найдем область определения $y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ и пересечение с $y \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Найдем область определения $y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1

Упростим $(7 + x) (7 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.1

Развернем $(7 + x) (7 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 (7 - x) + x (7 - x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \cdot 7 + 7 (- x) + x (7 - x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \cdot 7 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

$49 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$49 - 7 x + x \cdot 7 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.3

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$49 - 7 x + 7 \cdot x + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$49 - 7 x + 7 x - x \cdot x \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$49 - 7 x + 7 x - (x \cdot x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$49 - 7 x + 7 x - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.2

Добавим $- 7 x$ и $7 x$ .

$49 + 0 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.3

Добавим $49$ и $0$ .

$49 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.2

Вычтем $49$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 49$

Этап 1.4.3.1.2.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 49$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 49$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.3.3.1

Разделим $- 49$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 49$

Этап 1.4.3.1.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{49}$

Этап 1.4.3.1.2.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{49}$

Этап 1.4.3.1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.5.2.1

Упростим $\sqrt{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.5.2.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{7^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.5.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 7 |$

Этап 1.4.3.1.2.5.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $7$ равно $7$ .

$| x | \leq 7$

Этап 1.4.3.1.2.6

Запишем $| x | \leq 7$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 7$

Этап 1.4.3.1.2.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.4.3.1.2.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 7$

Этап 1.4.3.1.2.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 7 & x \geq 0 \\ - x \leq 7 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.4.3.1.2.7

Найдем пересечение $x \leq 7$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 7$

Этап 1.4.3.1.2.8

Решим $- x \leq 7$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.8.1

Разделим каждый член $- x \leq 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.8.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 7$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{7}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{7}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{7}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.8.1.3.1

Разделим $7$ на $- 1$ .

$x \geq - 7$

Этап 1.4.3.1.2.8.2

Найдем пересечение $x \geq - 7$ и $x < 0$ .

$- 7 \leq x < 0$

Этап 1.4.3.1.2.9

Найдем объединение решений.

$- 7 \leq x \leq 7$

Этап 1.4.3.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 7, 7]$

Этап 1.4.3.2

Найдем пересечение $y \geq 0$ и $[- 7, 7]$ .

$0 \leq y \leq 7$

Этап 1.4.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$y < 0$

Этап 1.4.5

В части, где $y$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 1.4.6

Найдем область определения $- y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ и пересечение с $y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Найдем область определения $- y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.1

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1

Упростим $(7 + x) (7 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.1

Развернем $(7 + x) (7 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 (7 - x) + x (7 - x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \cdot 7 + 7 (- x) + x (7 - x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \cdot 7 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

$49 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$49 - 7 x + x \cdot 7 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.3

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$49 - 7 x + 7 \cdot x + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$49 - 7 x + 7 x - x \cdot x \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$49 - 7 x + 7 x - (x \cdot x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$49 - 7 x + 7 x - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.2

Добавим $- 7 x$ и $7 x$ .

$49 + 0 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.3

Добавим $49$ и $0$ .

$49 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.2

Вычтем $49$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 49$

Этап 1.4.6.1.2.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 49$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.3.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.3.3.1

Разделим $- 49$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 49$

Этап 1.4.6.1.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{49}$

Этап 1.4.6.1.2.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{49}$

Этап 1.4.6.1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.5.2.1

Упростим $\sqrt{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.5.2.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{7^{2}}$

Этап 1.4.6.1.2.5.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 7 |$

Этап 1.4.6.1.2.5.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $7$ равно $7$ .

$| x | \leq 7$

Этап 1.4.6.1.2.6

Запишем $| x | \leq 7$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 7$

Этап 1.4.6.1.2.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.4.6.1.2.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 7$

Этап 1.4.6.1.2.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 7 & x \geq 0 \\ - x \leq 7 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.4.6.1.2.7

Найдем пересечение $x \leq 7$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 7$

Этап 1.4.6.1.2.8

Решим $- x \leq 7$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.8.1

Разделим каждый член $- x \leq 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.8.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{7}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{7}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{7}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.8.1.3.1

Разделим $7$ на $- 1$ .

$x \geq - 7$

Этап 1.4.6.1.2.8.2

Найдем пересечение $x \geq - 7$ и $x < 0$ .

$- 7 \leq x < 0$

Этап 1.4.6.1.2.9

Найдем объединение решений.

$- 7 \leq x \leq 7$

Этап 1.4.6.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 7, 7]$

Этап 1.4.6.2

Найдем пересечение $y < 0$ и $[- 7, 7]$ .

$- 7 \leq y < 0$

Этап 1.4.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)} & 0 \leq y \leq 7 \\ - y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)} & - 7 \leq y < 0 \end{cases}$

Этап 1.5

Найдем пересечение $y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ и $0 \leq y \leq 7$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Этап 1.6

Решим $- y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ , когда $- 7 \leq y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Разделим каждый член $- y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Разделим каждый член $- y \leq \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{- 1}$

Этап 1.6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{- 1}$

Этап 1.6.1.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y \geq \frac{\sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{- 1}$

Этап 1.6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{- 1}$ .

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 1.6.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ в виде $- \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

$y \geq - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 1.6.2

Найдем пересечение $y \geq - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ и $- 7 \leq y < 0$ .

Нет решения

Этап 1.7

Найдем объединение решений.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$- 4 y^{2} > 16 - x^{2}$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 4 y^{2} > 16 - x^{2}$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 4 y^{2} > 16 - x^{2}$ на $- 4$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} < \frac{16}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} < \frac{16}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} < \frac{16}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим $16$ на $- 4$ .

$y^{2} < - 4 + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Этап 2.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} < - 4 + \frac{x^{2}}{4}$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{y^{2}} < \sqrt{- 4 + \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | < \sqrt{- 4 + \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{- 4 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| y | < \sqrt{- 4 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$| y | < \sqrt{- 4 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 2.4.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| y | < \sqrt{- 2^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Изменим порядок $- 2^{2}$ и ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$| y | < \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2^{2}}$

Этап 2.4.2.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{2}$ и $b = 2$ .

$| y | < \sqrt{(\frac{x}{2} + 2) (\frac{x}{2} - 2)}$

Этап 2.4.2.1.5

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$| y | < \sqrt{(\frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 2)}$

Этап 2.4.2.1.6

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$| y | < \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}) (\frac{x}{2} - 2)}$

Этап 2.4.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$| y | < \sqrt{\frac{x + 2 \cdot 2}{2} (\frac{x}{2} - 2)}$

Этап 2.4.2.1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$| y | < \sqrt{\frac{x + 4}{2} (\frac{x}{2} - 2)}$

Этап 2.4.2.1.9

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$| y | < \sqrt{\frac{x + 4}{2} (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}$

Этап 2.4.2.1.10

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$| y | < \sqrt{\frac{x + 4}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}$

Этап 2.4.2.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$| y | < \sqrt{\frac{x + 4}{2} \cdot \frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.4.2.1.12

Умножим $- 2$ на $2$ .

$| y | < \sqrt{\frac{x + 4}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}}$

Этап 2.4.2.1.13

Умножим $\frac{x + 4}{2}$ на $\frac{x - 4}{2}$ .

$| y | < \sqrt{\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.2.1.14

Умножим $2$ на $2$ .

$| y | < \sqrt{\frac{(x + 4) (x - 4)}{4}}$

Этап 2.4.2.1.15

Перепишем $\frac{(x + 4) (x - 4)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 4) (x - 4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.15.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 4) (x - 4)$ .

$| y | < \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 4) (x - 4))}{4}}$

Этап 2.4.2.1.15.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$| y | < \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 4) (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 2.4.2.1.15.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 4) (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$| y | < \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 4) (x - 4))}$

Этап 2.4.2.1.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | < | \frac{1}{2} | \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 2.4.2.1.17

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$| y | < \frac{1}{2} \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 2.4.2.1.18

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(x + 4) (x - 4)}$ .

$| y | < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$

Этап 2.5

Запишем $| y | < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$y \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где $y$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$

Этап 2.5.3

Найдем область определения $y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ и пересечение с $y \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Найдем область определения $y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 4) (x - 4)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 4) (x - 4) \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1

Упростим $(x + 4) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1.1

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 4) + 4 (x - 4) \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.1.2.1.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.1.2.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x \cdot x + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.1.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.1.2.2.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$x^{2} - 16 \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.2

Добавим $16$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 16$

Этап 2.5.3.1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}$

Этап 2.5.3.1.2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{16}$

Этап 2.5.3.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.4.2.1

Упростим $\sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.4.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{4^{2}}$

Этап 2.5.3.1.2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 4 |$

Этап 2.5.3.1.2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$| x | \geq 4$

Этап 2.5.3.1.2.5

Запишем $| x | \geq 4$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.5.3.1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 4$

Этап 2.5.3.1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.5.3.1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 4$

Этап 2.5.3.1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.5.3.1.2.6

Найдем пересечение $x \geq 4$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 4$

Этап 2.5.3.1.2.7

Разделим каждый член $- x \geq 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \geq 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.5.3.1.2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.5.3.1.2.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.5.3.1.2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.2.7.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x \leq - 4$

Этап 2.5.3.1.2.8

Найдем объединение решений.

$x \leq - 4$ или $x \geq 4$

Этап 2.5.3.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Этап 2.5.3.2

Найдем пересечение $y \geq 0$ и $(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$ .

$y \geq 4$

Этап 2.5.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$y < 0$

Этап 2.5.5

В части, где $y$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$

Этап 2.5.6

Найдем область определения $- y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ и пересечение с $y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Найдем область определения $- y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.1

$(x + 4) (x - 4) \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1

Упростим $(x + 4) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1.1

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 4) + 4 (x - 4) \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.1.2.1.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.1.2.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x \cdot x + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot - 4 \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.1.2.2.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$x^{2} - 16 \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.2

Добавим $16$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 16$

Этап 2.5.6.1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}$

Этап 2.5.6.1.2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{16}$

Этап 2.5.6.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.4.2.1

Упростим $\sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.4.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{4^{2}}$

Этап 2.5.6.1.2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 4 |$

Этап 2.5.6.1.2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$| x | \geq 4$

Этап 2.5.6.1.2.5

Запишем $| x | \geq 4$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.5.6.1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 4$

Этап 2.5.6.1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.5.6.1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 4$

Этап 2.5.6.1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.5.6.1.2.6

Найдем пересечение $x \geq 4$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 4$

Этап 2.5.6.1.2.7

Разделим каждый член $- x \geq 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.7.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.5.6.1.2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.5.6.1.2.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.5.6.1.2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.7.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x \leq - 4$

Этап 2.5.6.1.2.8

Найдем объединение решений.

$x \leq - 4$ или $x \geq 4$

Этап 2.5.6.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Этап 2.5.6.2

Найдем пересечение $y < 0$ и $(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$ .

$y \leq - 4$

Этап 2.5.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2} & y \geq 4 \\ - y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2} & y \leq - 4 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение $y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ и $y \geq 4$ .

$4 \leq y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$

Этап 2.7

Решим $- y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ , когда $y \leq - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Разделим каждый член $- y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y}{- 1} > \frac{\frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}}{- 1}$

Этап 2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} > \frac{\frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}}{- 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y > \frac{\frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}}{- 1}$

Этап 2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}}{- 1}$ .

$y > - 1 \cdot \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$

Этап 2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ в виде $- \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ .

$y > - \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение $y > - \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ и $y \leq - 4$ .

$- \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2} < y \leq - 4$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

$4 \leq y < \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2}$ или $- \frac{\sqrt{(x + 4) (x - 4)}}{2} < y \leq - 4$

Этап 3

Построим каждый график в одной системе координат.

$x^{2} + y^{2} \leq 49$

$x^{2} - 4 y^{2} > 16$

Этап 4