Алгебра Примеры

$\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5}) = \log_{5} (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}})$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{125}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $\frac{125}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Этап 2.1.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Этап 2.1.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Этап 2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Этап 2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Этап 2.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 2.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 2.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 2.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Этап 2.1.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5})$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $125$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $125 \sqrt{5}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5})$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 (1)})$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 \cdot 1})$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{25 \sqrt{5}}{1})$

Этап 2.1.4.2.4

Разделим $25 \sqrt{5}$ на $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (25 \sqrt{5})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x = 25 \sqrt{5}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 25 \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 55.90169943 \dots$