Алгебра Примеры

$N = \sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}} = N$ .

$\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}} = N$

Этап 2

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $b$ .

${\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}}^{b} = N^{b}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}$ в виде ${(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}}$ .

${({(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}})}^{b} = N^{b}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}$ .

${(\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}}})}^{b} = N^{b}$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}}}$ .

$\frac{{({(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Этап 3.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b} b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Этап 3.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b} b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Этап 3.2.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{1}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Этап 3.2.1.2.2

Упростим.

$\frac{1 + 2^{b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Этап 3.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b} b}} = N^{b}$

Этап 3.2.1.3.1.2

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b} b}} = N^{b}$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{1}} = N^{b}$

Этап 3.2.1.3.2

Упростим.

$\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}} = N^{b}$

Этап 4

Решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}) = \ln (N^{b})$

Этап 4.2

Перепишем $\ln (\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})$ в виде $\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b})$ .

$\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b}) = \ln (N^{b})$

Этап 4.3

Развернем $\ln (N^{b})$ , вынося $b$ из логарифма.

$\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b}) = b \ln (N)$