Алгебра Примеры

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{f (x)}$

Этап 1

Запишем $f^{- 1} (x) = \frac{1}{f (x)}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{f (x)}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$f = \frac{1}{y (x)}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y x} = f$ .

$\frac{1}{y x} = f$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y x, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y x$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{1}{y x} = f$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y x} = f$ на $y x$ .

$\frac{1}{y x} (y x) = f (y x)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y x} (y x) = f (y x)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = f (y x)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Избавимся от скобок.

$1 = f y x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $f y x = 1$ .

$f y x = 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $f y x = 1$ на $f x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $f y x = 1$ на $f x$ .

$\frac{f y x}{f x} = \frac{1}{f x}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f y x}{f x} = \frac{1}{f x}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y x}{x} = \frac{1}{f x}$

Этап 3.4.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x}{x} = \frac{1}{f x}$

Этап 3.4.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{f x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f (f)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f (f) = \frac{1}{f x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f (f) = \frac{1}{f x}$ обратной к $f^{- 1} (f) = \frac{1}{f (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f (f^{- 1} (f)) = f$ и $f^{- 1} (f (f)) = f$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f (f^{- 1} (f))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Запишем $f (f) = \frac{1}{f x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{f x}$

Этап 5.2.2

Поменяем переменные местами.

$f = \frac{1}{y x}$

Этап 5.2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y x} = f$ .

$\frac{1}{y x} = f$

Этап 5.2.3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y x, 1$

Этап 5.2.3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y x$

Этап 5.2.3.3

Каждый член в $\frac{1}{y x} = f$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y x} = f$ на $y x$ .

$\frac{1}{y x} (y x) = f (y x)$

Этап 5.2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y x} (y x) = f (y x)$

Этап 5.2.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = f (y x)$

Этап 5.2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.3.1

Избавимся от скобок.

$1 = f y x$

Этап 5.2.3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $f y x = 1$ .

$f y x = 1$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим каждый член $f y x = 1$ на $f x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.1

Разделим каждый член $f y x = 1$ на $f x$ .

$\frac{f y x}{f x} = \frac{1}{f x}$

Этап 5.2.3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f y x}{f x} = \frac{1}{f x}$

Этап 5.2.3.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y x}{x} = \frac{1}{f x}$

Этап 5.2.3.4.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x}{x} = \frac{1}{f x}$

Этап 5.2.3.4.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{f x}$

Этап 5.2.4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (f)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (f) = \frac{1}{f x}$

Этап 5.2.5

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (f))$

Этап 5.2.6

Найдем значение $f (\frac{1}{f x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{f x}) = \frac{1}{(\frac{1}{f x}) \cdot x}$

Этап 5.2.7

Объединим $\frac{1}{f x}$ и $x$ .

$f (\frac{1}{f x}) = \frac{1}{\frac{x}{f x}}$

Этап 5.2.8

Сократим выражение $\frac{x}{f x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{f x}) = \frac{1}{\frac{x}{f x}}$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{f x}) = \frac{1}{\frac{1}{f}}$

Этап 5.2.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{f x}) = 1 f$

Этап 5.2.10

Умножим $f$ на $1$ .

$f (\frac{1}{f x}) = f$

Этап 5.3

Найдем значение $f^{- 1} (f (f))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Запишем $f (f) = \frac{1}{f x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{f x}$

Этап 5.3.2

Поменяем переменные местами.

$f = \frac{1}{y x}$

Этап 5.3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y x} = f$ .

$\frac{1}{y x} = f$

Этап 5.3.3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y x, 1$

Этап 5.3.3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y x$

Этап 5.3.3.3

Каждый член в $\frac{1}{y x} = f$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y x} = f$ на $y x$ .

$\frac{1}{y x} (y x) = f (y x)$

Этап 5.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y x} (y x) = f (y x)$

Этап 5.3.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = f (y x)$

Этап 5.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.3.1

Избавимся от скобок.

$1 = f y x$

Этап 5.3.3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $f y x = 1$ .

$f y x = 1$

Этап 5.3.3.4.2

Разделим каждый член $f y x = 1$ на $f x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.2.1

Разделим каждый член $f y x = 1$ на $f x$ .

$\frac{f y x}{f x} = \frac{1}{f x}$

Этап 5.3.3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f y x}{f x} = \frac{1}{f x}$

Этап 5.3.3.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y x}{x} = \frac{1}{f x}$

Этап 5.3.3.4.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x}{x} = \frac{1}{f x}$

Этап 5.3.3.4.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{f x}$

Этап 5.3.4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (f)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (f) = \frac{1}{f x}$

Этап 5.3.5

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (f))$

Этап 5.3.6

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{f x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{f x}) = \frac{1}{(\frac{1}{f x}) \cdot x}$

Этап 5.3.7

Объединим $\frac{1}{f x}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{f x}) = \frac{1}{\frac{x}{f x}}$

Этап 5.3.8

Сократим выражение $\frac{x}{f x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{f x}) = \frac{1}{\frac{x}{f x}}$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{f x}) = \frac{1}{\frac{1}{f}}$

Этап 5.3.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{f x}) = 1 f$

Этап 5.3.10

Умножим $f$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{f x}) = f$

Этап 5.4

Так как $f (f^{- 1} (f)) = f$ и $f^{- 1} (f (f)) = f$ , то $f (f) = \frac{1}{f x}$ — обратная к $f^{- 1} (f) = \frac{1}{f (x)}$ .

$f (f) = \frac{1}{f x}$