Алгебра Примеры

$\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}} = 2 x$

Этап 1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}}}^{4} = {(2 x)}^{4}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}}$ в виде ${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(2 x)}^{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(2 x)}^{4}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(2 x)}^{4}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 - 8 x^{2})}^{1} = {(2 x)}^{4}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$3 - 8 x^{2} = {(2 x)}^{4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$3 - 8 x^{2} = 2^{4} x^{4}$

Этап 2.3.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$3 - 8 x^{2} = 16 x^{4}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $16 x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$3 - 8 x^{2} - 16 x^{4} = 0$

Этап 3.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 16 u^{2} - 8 u + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 16 u^{2}$ .

$- (16 u^{2}) - 8 u + 3 = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 u$ .

$- (16 u^{2}) - (8 u) + 3 = 0$

Этап 3.3.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (16 u^{2}) - (8 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (16 u^{2}) - (8 u)$ .

$- (16 u^{2} + 8 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (16 u^{2} + 8 u) - 1 (- 3)$ .

$- (16 u^{2} + 8 u - 3) = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 u$ .

$- (16 u^{2} + 8 (u) - 3) = 0$

Этап 3.3.2.1.1.2

Запишем $8$ как $- 4$ плюс $12$

$- (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3) = 0$

Этап 3.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3) = 0$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3) = 0$

Этап 3.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1)) = 0$

Этап 3.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (4 u + 3)) = 0$

Этап 3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (4 u - 1) (4 u + 3) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$4 u + 3 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $4 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Этап 3.6

Приравняем $4 u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $4 u + 3$ к $0$ .

$4 u + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $4 u + 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 u = - 3$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $4 u = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 3}{4}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3}{4}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (4 u - 1) (4 u + 3) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{4}, - \frac{3}{4}$

Этап 3.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{3}{4}$

Этап 3.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 3.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 3.10.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 3.10.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 3.10.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 3.10.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 3.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 3.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{3}{4}$

Этап 3.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Этап 3.12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Этап 3.12.3

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Перепишем $- \frac{3}{4}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Этап 3.12.3.1.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Этап 3.12.3.1.3

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.12.3.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Этап 3.12.3.1.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Этап 3.12.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Этап 3.12.3.3

Объединим $\frac{i}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.13

Решением $- 16 x^{4} - 8 x^{2} + 3 = 0$ является $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$