Алгебра Примеры

$- 4 (x - 3) (x - 1)$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $- 4 (x - 3) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 4 x - 4 \cdot - 3) (x - 1)$

Этап 1.1.1.1.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$(- 4 x + 12) (x - 1)$

Этап 1.1.1.1.3

Развернем $(- 4 x + 12) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x (x - 1) + 12 (x - 1)$

Этап 1.1.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 + 12 (x - 1)$

Этап 1.1.1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 + 12 x + 12 \cdot - 1$

Этап 1.1.1.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 12 x + 12 \cdot - 1$

Этап 1.1.1.1.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 12 x + 12 \cdot - 1$

Этап 1.1.1.1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 4 x^{2} + 4 x + 12 x + 12 \cdot - 1$

Этап 1.1.1.1.4.1.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$- 4 x^{2} + 4 x + 12 x - 12$

Этап 1.1.1.1.4.2

Добавим $4 x$ и $12 x$ .

$- 4 x^{2} + 16 x - 12$

Этап 1.1.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 16$

$c = - 12$

Этап 1.1.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (- 4)}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$d = \frac{4 (2)}{- 4}$

Этап 1.1.1.4.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 1.1.1.4.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 1.1.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 12 - \frac{16^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$e = - 12 - \frac{256}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = - 12 - \frac{256}{- 16}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3

Разделим $256$ на $- 16$ .

$e = - 12 - - 16$

Этап 1.1.1.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$e = - 12 + 16$

Этап 1.1.1.5.2.2

Добавим $- 12$ и $16$ .

$e = 4$

Этап 1.1.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(x - 2)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(x - 2)}^{2} + 4$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 4 {(x - 2)}^{2} + 4$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 4$

$h = 2$

$k = 4$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(2, 4)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{16}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2, \frac{63}{16})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 2$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{65}{16}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(2, 4)$

Фокус: $(2, \frac{63}{16})$

Ось симметрии: $x = 2$

Директриса: $y = \frac{65}{16}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(2, 4)$

Фокус: $(2, \frac{63}{16})$

Ось симметрии: $x = 2$

Директриса: $y = \frac{65}{16}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - 4 ((1) - 3) ((1) - 1)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (1) = - 4 \cdot (- 2 ((1) - 1))$

Этап 2.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$f (1) = 8 ((1) - 1)$

Этап 2.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = 8 \cdot 0$

Этап 2.2.4

Умножим $8$ на $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 4 ((0) - 3) ((0) - 1)$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $3$ из $0$ .

$f (0) = - 4 \cdot (- 3 ((0) - 1))$

Этап 2.5.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$f (0) = 12 ((0) - 1)$

Этап 2.5.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = 12 \cdot - 1$

Этап 2.5.4

Умножим $12$ на $- 1$ .

$f (0) = - 12$

Этап 2.5.5

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 0$ равно $- 12$ .

$y = - 12$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - 4 ((3) - 3) ((3) - 1)$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (3) = - 4 \cdot (0 ((3) - 1))$

Этап 2.8.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (3) = 0 ((3) - 1)$

Этап 2.8.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (3) = 0 \cdot 2$

Этап 2.8.4

Умножим $0$ на $2$ .

$f (3) = 0$

Этап 2.8.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 3$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - 4 ((4) - 3) ((4) - 1)$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вычтем $3$ из $4$ .

$f (4) = - 4 \cdot (1 ((4) - 1))$

Этап 2.11.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (4) = - 4 ((4) - 1)$

Этап 2.11.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (4) = - 4 \cdot 3$

Этап 2.11.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f (4) = - 12$

Этап 2.11.5

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 4$ равно $- 12$ .

$y = - 12$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 12 \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ 4 & - 12 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(2, 4)$

Фокус: $(2, \frac{63}{16})$

Ось симметрии: $x = 2$

Директриса: $y = \frac{65}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 12 \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ 4 & - 12 \end{array}$

Этап 4