Алгебра Примеры

$\frac{2 \tan (\frac{π}{6})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Этап 1

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \tan (\frac{π}{6})$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \tan (\frac{π}{6})) (1 - \tan (\frac{π}{6}))}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \tan (\frac{π}{6}))}$

Этап 2.3.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (3 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{1}}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.3

Добавим $- 3 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 0}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.2.4

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{3 \cdot 3}}$

Этап 5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (2)}{9}}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Этап 8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Этап 8.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{3}$

Десятичная форма:

$1.73205080 \dots$