Алгебра Примеры

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Этап 1

Так как $x = r \cos (θ)$ , заменим $x$ на $r \cos (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Этап 2

Так как $y = r \sin (θ)$ , заменим $y$ на $r \sin (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} = 25$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем ${(r \cos (θ) - 3)}^{2}$ в виде $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ .

$(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - 3) - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1.1

Перенесем $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3.1.1.2

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 \cdot (r \cos (θ)) - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 r \cos (θ) - 3 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.3.2

Вычтем $3 r \cos (θ)$ из $- 3 r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Этап 3.2.1.4

Перепишем ${(r \sin (θ) + 4)}^{2}$ в виде $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + (r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Этап 3.2.1.5

Развернем $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ) + 4) + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Этап 3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Этап 3.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.1

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.1.1

Перенесем $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6.1.1.2

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6.1.2

Умножим $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6.1.2.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6.1.3

Перенесем $4$ влево от $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 \cdot (r \sin (θ)) + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6.1.4

Умножим $4$ на $4$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \sin (θ) + 4 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.1.6.2

Добавим $4 r \sin (θ)$ и $4 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $r^{2}$ из $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.2.3

Вынесем множитель $r^{2}$ из $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.2.4

Вынесем множитель $r^{2}$ из $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.3

Переставляем члены.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.4

Применим формулу Пифагора.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $r^{2}$ на $1$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Этап 3.2.5.2

Добавим $9$ и $16$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25 = 0$

Этап 3.2.5.3

Объединим противоположные члены в $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Вычтем $25$ из $25$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 0 = 0$

Этап 3.2.5.3.2

Добавим $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ и $0$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $r$ из $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{2}$ .

$r \cdot r - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $r$ из $- 6 r \cos (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + 8 r \sin (θ) = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $r$ из $8 r \sin (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $r$ из $r \cdot r + r (- 6 \cos (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $r$ из $r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Этап 3.5

Приравняем $r$ к $0$ .

$r = 0$

Этап 3.6

Приравняем $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ к $0$ .

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Этап 3.6.2

Перенесем все члены без $r$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $6 \cos (θ)$ к обеим частям уравнения.

$r + 8 \sin (θ) = 6 \cos (θ)$

Этап 3.6.2.2

Вычтем $8 \sin (θ)$ из обеих частей уравнения.

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$ верно.

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$