Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ в виде уравнения.

$y = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = x$ .

$\frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = 9 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = 9 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}} = 9 x$

Этап 3.4

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим ${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{7} + 10)}^{1} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.1.1.2

Упростим.

$y^{7} + 10 = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${(9 x)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим правило умножения к $9 x$ .

$y^{7} + 10 = 9^{5} x^{5}$

Этап 3.5.2.1.2

Возведем $9$ в степень $5$ .

$y^{7} + 10 = 59049 x^{5}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$y^{7} = 59049 x^{5} - 10$

Этап 3.6.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ обратной к $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 {(\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9})}^{5} - 10}$

Этап 5.2.3

Применим правило умножения к $\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{({(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{9^{5}}) - 10}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) - 10}$

Этап 5.2.4.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) - 10}$

Этап 5.2.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{9^{5}}) - 10}$

Этап 5.2.4.2

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{9^{5}}) - 10}$

Этап 5.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возведем $9$ в степень $5$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{59049}) - 10}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $59049$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{59049}) - 10}$

Этап 5.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7} + 10 - 10}$

Этап 5.2.5.3

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Вычтем $10$ из $10$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Этап 5.2.5.3.2

Добавим $x^{7}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Этап 5.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10})}^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем ${\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}}^{7}$ в виде $59049 x^{5} - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ в виде ${(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{7}{7}} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.1.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{7}{7}} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{((59049 x^{5} - 10) + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.1.5

Упростим.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5} - 10 + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.2

Объединим противоположные члены в $59049 x^{5} - 10 + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5} + 0)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.2.2

Добавим $59049 x^{5}$ и $0$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.3

Применим правило умножения к $59049 x^{5}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{59049^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем $59049$ в виде $9^{5}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(9^{5})}^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.7

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x^{5 (\frac{1}{5})}}{9}$

Этап 5.3.3.8.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.8.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x^{5 (\frac{1}{5})}}{9}$

Этап 5.3.3.8.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.3.3.9

Упростим.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ — обратная к $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$