Алгебра Примеры

$f (x) = \cot (\frac{1}{2} x - π)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \cot (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, π)$ для $y = \cot (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \cot (\frac{x}{2} - π)$ . Положив аргумент котангенса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \cot (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \cot (\frac{x}{2} - π)$ .

$\frac{x}{2} - π = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = π$

Этап 1.2.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 π$

Этап 1.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 π$

Этап 1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 π$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $\frac{x}{2} - π$ функции котангенса к $π$ .

$\frac{x}{2} - π = π$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = π + π$

Этап 1.4.1.2

Добавим $π$ и $π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π$

Этап 1.4.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π)$

Этап 1.4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π)$

Этап 1.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 π)$

Этап 1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 π$

Этап 1.5

Основной период $y = \cot (\frac{x}{2} - π)$ находится на промежутке $(2 π, 4 π)$ , где $2 π$ и $4 π$ являются вертикальными асимптотами.

$(2 π, 4 π)$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 1.6.3

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \cot (\frac{x}{2} - π)$ находятся в точках $2 π$ , $4 π$ и в каждой точке $x = 2 π + 2 π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = 2 π + 2 π n$

Этап 1.8

Котангенс имеет только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 2 π + 2 π n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 2 π + 2 π n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \cot (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = π$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $c o t$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $\cot (\frac{x}{2} - π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 4.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 4.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $π \cdot 2$

Этап 5.4

Перенесем $2$ влево от $π$ .

Сдвиг фазы: $2 π$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $2 π$ ( $2 π$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = 2 π + 2 π n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $2 π$ ( $2 π$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 8