Алгебра Примеры

$2 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\frac{4}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{2}{3}}$ для всех.

$2 u^{2} - u - 6 = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 6 = 0$

Этап 1.3.1.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$2 u^{2} + (3 - 4) u - 6 = 0$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 3 u - 4 u - 6 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} + 3 u) - 4 u - 6 = 0$

Этап 1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u + 3) - 2 (2 u + 3) = 0$

Этап 1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 2) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(2 x^{\frac{2}{3}} + 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x^{\frac{2}{3}} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x^{\frac{2}{3}} + 3$ к $0$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{\frac{2}{3}} = - 3$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(2 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим ${(2 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.3

Упростим.

$2^{\frac{3}{2}} x = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.4

Изменим порядок множителей в $2^{\frac{3}{2}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4.2

Разделим каждый член $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ на $2^{\frac{3}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Разделим каждый член $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ на $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4.4

Разделим каждый член $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ на $2^{\frac{3}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.1

Разделим каждый член $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ на $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Приравняем $x^{\frac{2}{3}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{\frac{2}{3}} - 2$ к $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{2}{3}} = 2$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.2

Упростим.

$x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x^{\frac{2}{3}} + 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $2 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$ истинным.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 7