Алгебра Примеры

$4 x^{2} - 12 \geq - 4 x - 9$

Этап 1

Добавим $4 x$ к обеим частям неравенства.

$4 x^{2} - 12 + 4 x \geq - 9$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 9$

Этап 3

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 12 + 4 x + 9 = 0$

Этап 4

Добавим $- 12$ и $9$ .

$4 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$4 x^{2} + 4 (x) - 3 = 0$

Этап 5.1.2

Запишем $4$ как $- 2$ плюс $6$

$4 x^{2} + (- 2 + 6) x - 3 = 0$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 2 x + 6 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 2 x) + 6 x - 3 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (2 x + 3) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 7

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 8.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 4)}^{2} - 12 \geq - 4 \cdot - 4 - 9$

Этап 11.1.3

Левая часть $52$ больше правой части $7$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 {(0)}^{2} - 12 \geq - 4 \cdot 0 - 9$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 12$ меньше правой части $- 9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$4 {(3)}^{2} - 12 \geq - 4 \cdot 3 - 9$

Этап 11.3.3

Левая часть $24$ больше правой части $- 21$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

$x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{3}{2}$ или $x \geq \frac{1}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{3}{2} or x \geq \frac{1}{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 14