Алгебра Примеры

$p (x) = (x + 5) (x)$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $(x + 5) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + 5 x$

Этап 1.1.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 5 x$

Этап 1.1.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

Этап 1.1.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Этап 1.1.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.2

Вычтем $\frac{25}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{25}{4})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{5}{2}, - 6)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{13}{2}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, - \frac{25}{4})$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, - 6)$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = - \frac{13}{2}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, - \frac{25}{4})$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, - 6)$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = - \frac{13}{2}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = ((- 3) + 5) (- 3)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $- 3$ и $5$ .

$f (- 3) = 2 \cdot - 3$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 6$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $- 6$ .

$y = - 6$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = ((- 4) + 5) (- 4)$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $- 4$ и $5$ .

$f (- 4) = 1 \cdot - 4$

Этап 2.5.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (- 4) = - 4$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 4$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = ((- 1) + 5) (- 1)$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $- 1$ и $5$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1$

Этап 2.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = ((0) + 5) (0)$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $0$ и $5$ .

$f (0) = 5 \cdot 0$

Этап 2.11.2

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 6 \\ - \frac{5}{2} & - \frac{25}{4} \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, - \frac{25}{4})$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, - 6)$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 6 \\ - \frac{5}{2} & - \frac{25}{4} \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0 \end{array}$

Этап 4