Алгебра Примеры

$\frac{x}{3 x - 5} \leq \frac{2}{x - 1}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{x - 1}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x}{3 x - 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{2}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 x - 5) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x}{3 x - 5}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{2}{x - 1}$ на $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(x - 1) (3 x - 5)} \leq 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (3 x - 5)$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - 1) - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5.6

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5.7

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5.8

Вычтем $6 x$ из $- x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 2.5.9

Разложим $x^{2} - 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 7$ .

$- 5, - 2$

Этап 2.5.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 5$

Этап 7

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Этап 8

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 5$

$x = 2$

$x = \frac{5}{3}$

$x = 1$

Этап 10

Объединим решения.

$x = 5, 2, \frac{5}{3}, 1$

Этап 11

Найдем область определения $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(3 x - 5) (x - 1) = 0$

Этап 11.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 11.2.2

Приравняем $3 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Приравняем $3 x - 5$ к $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Этап 11.2.2.2

Решим $3 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 5$

Этап 11.2.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 11.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 11.2.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Этап 11.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 11.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 11.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 5) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{5}{3}, 1$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{0}{3 (0) - 5} \leq \frac{2}{(0) - 1}$

Этап 13.1.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $1 < x < \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.33$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $1.33$ в исходном неравенстве.

$\frac{1.33}{3 (1.33) - 5} \leq \frac{2}{(1.33) - 1}$

Этап 13.2.3

Левая часть $- 1.\overline{3168}$ меньше правой части $6.\overline{06}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $\frac{5}{3} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{3} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.83$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $1.83$ в исходном неравенстве.

$\frac{1.83}{3 (1.83) - 5} \leq \frac{2}{(1.83) - 1}$

Этап 13.3.3

Левая часть $3.73469387$ больше правой части $2.40963855$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.4

Проверим значение на интервале $2 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 13.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{3 (4) - 5} \leq \frac{2}{(4) - 1}$

Этап 13.4.3

Левая часть $0.\overline{571428}$ меньше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.5

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 13.5.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{8}{3 (8) - 5} \leq \frac{2}{(8) - 1}$

Этап 13.5.3

Левая часть $0.42105263$ больше правой части $0.\overline{285714}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Ложь

$1 < x < \frac{5}{3}$ Истина

$\frac{5}{3} < x < 2$ Ложь

$2 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < 1$ Ложь

$1 < x < \frac{5}{3}$ Истина

$\frac{5}{3} < x < 2$ Ложь

$2 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1 < x < \frac{5}{3}$ или $2 \leq x \leq 5$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$1 < x < \frac{5}{3} or 2 \leq x \leq 5$

Интервальное представление:

$(1, \frac{5}{3}) \cup [2, 5]$

Этап 16