Алгебра Примеры

$x + \frac{1}{x - 1} = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x - 1, x - 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

НОК $x - 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 1$

Этап 2

Каждый член в $x + \frac{1}{x - 1} = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ умножим на $x - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $x + \frac{1}{x - 1} = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ на $x - 1$ .

$x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1) = \frac{2 x - 1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1) = \frac{2 x - 1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1) = \frac{2 x - 1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.2.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + \frac{1}{x - 1} (x - 1) = \frac{2 x - 1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.2.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{x - 1} (x - 1) = \frac{2 x - 1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x + \frac{1}{x - 1} (x - 1) = \frac{2 x - 1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x + 1 = \frac{2 x - 1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x + 1 = \frac{2 x - 1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x + 1 = 2 x - 1$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x + 1 - 2 x = - 1$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = - 1$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 3 x + 1 + 1 = 0$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.7

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $x + \frac{1}{x - 1} = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ истинным.

$x = 2$