Алгебра Примеры

$z = - 1 + \sqrt{3} i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - 1$ и $b = \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{3 + 1}$

Этап 4.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Этап 4.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 2$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{- 1})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 7

Подставим значения $θ = \frac{2 π}{3}$ и $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 8

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$z = 2 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$