Алгебра Примеры

$3 x = 1 + 2 \sqrt{x}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$1 + 2 \sqrt{x} = 3 x$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x} = 3 x - 1$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Упростим.

$4 x = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(3 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(3 x - 1)}^{2}$ в виде $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$4 x = (3 x - 1) (3 x - 1)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(3 x - 1) (3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x = 3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$4 x = 9 x^{2} - 6 x + 1$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} - 6 x + 1 = 4 x$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 6 x + 1 - 4 x = 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 6 x$ .

$9 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Этап 5.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$9 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Этап 5.3.1.2

Запишем $- 10$ как $- 1$ плюс $- 9$

$9 x^{2} + (- 1 - 9) x + 1 = 0$

Этап 5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} - 1 x - 9 x + 1 = 0$

Этап 5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 x^{2} - 1 x) - 9 x + 1 = 0$

Этап 5.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (9 x - 1) - (9 x - 1) = 0$

Этап 5.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x - 1$ .

$(9 x - 1) (x - 1) = 0$

Этап 5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.5

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $9 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 1$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Этап 5.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 x - 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{9}, 1$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $3 x = 1 + 2 \sqrt{x}$ истинным.

$x = 1$