Алгебра Примеры

$2 \sqrt{x - 8} < 24$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(2 \sqrt{x - 8})}^{2} < 24^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 8}$ в виде ${(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 24^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 24^{2}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x - 8)}^{1} < 24^{2}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$4 (x - 8) < 24^{2}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot - 8 < 24^{2}$

Этап 2.2.1.6

Умножим $4$ на $- 8$ .

$4 x - 32 < 24^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$4 x - 32 < 576$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $32$ к обеим частям неравенства.

$4 x < 576 + 32$

Этап 3.1.2

Добавим $576$ и $32$ .

$4 x < 608$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 x < 608$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 x < 608$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{608}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} < \frac{608}{4}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{608}{4}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $608$ на $4$ .

$x < 152$

Этап 4

Найдем область определения $2 \sqrt{x - 8} - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 8}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 8 \geq 0$

Этап 4.2

Добавим $8$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 8$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[8, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 8$

$8 < x < 152$

$x > 152$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{(0) - 8} < 24$

Этап 6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $8 < x < 152$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $8 < x < 152$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{(10) - 8} < 24$

Этап 6.2.3

Левая часть $2.82842712$ меньше правой части $24$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 152$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 152$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 154$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $154$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{(154) - 8} < 24$

Этап 6.3.3

Левая часть $24.16609194$ не меньше правой части $24$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 8$ Ложь

$8 < x < 152$ Истина

$x > 152$ Ложь

$x < 8$ Ложь

$8 < x < 152$ Истина

$x > 152$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$8 < x < 152$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$8 < x < 152$

Интервальное представление:

$(8, 152)$

Этап 9