Алгебра Примеры

$\frac{\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{1}{x}}{x + 1}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(x + 4) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{1}{x}}{x + 1}$ на $\frac{(x + 4) x}{(x + 4) x}$ .

$\frac{(x + 4) x}{(x + 4) x} \cdot \frac{\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{1}{x}}{x + 1}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{(x + 4) x (\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{1}{x})}{(x + 4) x (x + 1)}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 4) x \frac{x + 1}{x + 4} + (x + 4) x (- \frac{1}{x})}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) x$ .

$\frac{(x + 4) (x) \frac{x + 1}{x + 4} + (x + 4) x (- \frac{1}{x})}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 4) x \frac{x + 1}{x + 4} + (x + 4) x (- \frac{1}{x})}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (x + 1) + (x + 4) x (- \frac{1}{x})}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{x (x + 1) + (x + 4) x \frac{- 1}{x}}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $(x + 4) x$ .

$\frac{x (x + 1) + x (x + 4) \frac{- 1}{x}}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 1) + x (x + 4) \frac{- 1}{x}}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x (x + 1) + (x + 4) \cdot - 1}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + (x + 4) \cdot - 1}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + (x + 4) \cdot - 1}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + x + (x + 4) \cdot - 1}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + x + x \cdot - 1 + 4 \cdot - 1}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.5

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + x - 1 \cdot x + 4 \cdot - 1}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + x - 1 \cdot x - 4}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.7

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} + x - x - 4}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.8

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.9

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.10

Перепишем $x^{2} - 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 4.10.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 4) x \cdot x + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 4) (x \cdot x) + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 4) x^{2} + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + 4 x^{2} + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 5.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{1} x^{2} + 4 x^{2} + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{1 + 2} + 4 x^{2} + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 4 x^{2} + (x + 4) x \cdot 1}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 4 x^{2} + (x \cdot x + 4 x) \cdot 1}$

Этап 5.5

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 4 x^{2} + (x^{2} + 4 x) \cdot 1}$

Этап 5.6

Умножим $x^{2} + 4 x$ на $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 4 x^{2} + x^{2} + 4 x}$

Этап 5.7

Добавим $4 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 5.8

Перепишем $x^{3} + 5 x^{2} + 4 x$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 5 x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 5.8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x (5 x) + 4 x}$

Этап 5.8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 4}$

Этап 5.8.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 4}$

Этап 5.8.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 4$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x (x^{2} + 5 x + 4)}$

Этап 5.8.2

Разложим $x^{2} + 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 5.8.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x ((x + 1) (x + 4))}$

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x (x + 1) (x + 4)}$