Алгебра Примеры

$y = 2 \sqrt[3]{x - 5}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \sqrt[3]{y - 5}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ .

$2 \sqrt[3]{y - 5} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{y - 5}}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt[3]{y - 5}}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\sqrt[3]{y - 5}$ на $1$ .

$\sqrt[3]{y - 5} = \frac{x}{2}$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y - 5}}^{3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y - 5}$ в виде ${(y - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 5)}^{1} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$y - 5 = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$y - 5 = \frac{x^{3}}{2^{3}}$

Этап 2.4.3.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y - 5 = \frac{x^{3}}{8}$

Этап 2.5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x^{3}}{8} + 5$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$ обратной к $f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x - 5})}^{3}}{8} + 5$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{8} + 5$

Этап 4.2.3.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{8} + 5$

Этап 4.2.3.1.3

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 5}}^{3}$ в виде $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {({(x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8} + 5$

Этап 4.2.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8} + 5$

Этап 4.2.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 5$

Этап 4.2.3.1.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 5$

Этап 4.2.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Этап 4.2.3.1.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Этап 4.2.3.2.2

Разделим $x - 5$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x - 5 + 5$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{3}}{8} + 5)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{8} + 5) - 5}$

Этап 4.3.3

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + 0}$

Этап 4.3.4

Добавим $\frac{x^{3}}{8}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Этап 4.3.5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Этап 4.3.6

Перепишем $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Этап 4.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$ — обратная к $f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$