Алгебра Примеры

$\frac{3 x + 8}{x - 4} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x + 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 8$

Этап 3

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{3}$

Этап 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{8}{3}$

$x = 4$

Этап 6

Объединим решения.

$x = - \frac{8}{3}, 4$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{3 x + 8}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 8}{x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 4 = 0$

Этап 7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < 4$

$x > 4$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{8}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{8}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 5) + 8}{(- 5) - 4} \geq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $0.\overline{7}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{8}{3} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{8}{3} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0) + 8}{(0) - 4} \geq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (6) + 8}{(6) - 4} \geq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $13$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{8}{3}$ Истина

$- \frac{8}{3} < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - \frac{8}{3}$ Истина

$- \frac{8}{3} < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{8}{3}$ или $x > 4$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{8}{3} or x > 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{8}{3}] \cup (4, \infty)$

Этап 12