Алгебра Примеры

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

Этап 2

Приравняем $\cot (θ) - \sqrt{3}$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\cot (θ) - \sqrt{3}$ к $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Этап 2.2

Решим $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Этап 2.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из котангенса.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Точное значение $arccot (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 2.2.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + \frac{π}{6}$

Этап 2.2.5

Упростим $π + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 2.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 2.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 2.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 2.2.5.3.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Этап 2.2.6

Найдем период $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.7

Период функции $\cot (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ к $0$ .

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

Этап 3.2

Решим $2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 3.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 3.2.6.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 3.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 3.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 3.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 3.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.8.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.9

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$ верно.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим $\frac{π}{6} + π n$ и $\frac{7 π}{6} + π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$