Алгебра Примеры

$\log_{3} (1 - x) \geq \log_{3} (x + 16 - x^{2})$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{3} (1 - x) = \log_{3} (x + 16 - x^{2})$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$1 - x = x + 16 - x^{2}$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x + 16 - x^{2} = 1 - x$

Этап 2.2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x + 16 - x^{2} + x = 1$

Этап 2.2.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 16 - x^{2} = 1$

Этап 2.2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x + 16 - x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.2.4

Вычтем $1$ из $16$ .

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

Этап 2.2.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x - x^{2} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

Этап 2.2.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

Этап 2.2.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

Этап 2.2.5.1.4

Перепишем $15$ в виде $- 1 (- 15)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Этап 2.2.5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Этап 2.2.5.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Этап 2.2.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 2.2.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Этап 2.2.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

Этап 2.2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.2.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.2.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.2.8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.2.8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 5) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 5, - 3$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{3} (\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{3} (\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$1 - x = 0$

$- x^{2} + x + 16 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 3.2.3

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 3.2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2.5

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 1$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.6.1.2.2

Умножим $4$ на $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.6.1.3

Добавим $1$ и $64$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

Этап 3.2.6.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.2.8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.2.9

Объединим решения.

$x = 1, \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.2.10

Найдем область определения $\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- x^{2} + x + 16 = 0$

Этап 3.2.10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2.10.2.2

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 1$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.10.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.10.2.3.1.2.2

Умножим $4$ на $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.10.2.3.1.3

Добавим $1$ и $64$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.10.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

Этап 3.2.10.2.3.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.2.10.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.2.10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, \frac{1 + \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \infty)$

Этап 3.2.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.2.12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 3.2.12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{1 - (- 6)}{- {(- 6)}^{2} - 6 + 16} > 0$

Этап 3.2.12.1.3

Левая часть $- 0.2\overline{692307}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.12.2

Проверим значение на интервале $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.12.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{1 - (0)}{- {(0)}^{2} + 0 + 16} > 0$

Этап 3.2.12.2.3

Левая часть $0.0625$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.12.3

Проверим значение на интервале $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 3.2.12.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{1 - (3)}{- {(3)}^{2} + 3 + 16} > 0$

Этап 3.2.12.3.3

Левая часть $- 0.2$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.12.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 3.2.12.4.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\frac{1 - (7)}{- {(7)}^{2} + 7 + 16} > 0$

Этап 3.2.12.4.3

Левая часть $0.\overline{230769}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ Ложь

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ Истина

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Ложь

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Истина

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ Ложь

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ Истина

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Ложь

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Истина

Этап 3.2.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ или $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- x^{2} + x + 16 = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.2

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 1$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Умножим $4$ на $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.1.3

Добавим $1$ и $64$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

Этап 3.4.3.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.4.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, 1) \cup (\frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$

$x > 5$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$x = - 6$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (1 - (- 6)) \geq \log_{3} ((- 6) + 16 - {(- 6)}^{2})$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Правая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3.27$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $- 3.27$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (1 - (- 3.27)) \geq \log_{3} ((- 3.27) + 16 - {(- 3.27)}^{2})$

Этап 5.2.3

Левая часть $1.32131584$ больше правой части $0.64765999$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (1 - (0)) \geq \log_{3} ((0) + 16 - {(0)}^{2})$

Этап 5.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $2.52371901$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

$x = 3$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (1 - (3)) \geq \log_{3} ((3) + 16 - {(3)}^{2})$

Этап 5.4.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.4.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.5

Проверим значение на интервале $\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Выберем значение на интервале $\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4.77$

Этап 5.5.2

Заменим $x$ на $4.77$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (1 - (4.77)) \geq \log_{3} ((4.77) + 16 - {(4.77)}^{2})$

Этап 5.5.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.5.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.6

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 5.6.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (1 - (8)) \geq \log_{3} ((8) + 16 - {(8)}^{2})$

Этап 5.6.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.6.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.7

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ Ложь

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 1$ Ложь

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Ложь

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Ложь

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ Ложь

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 1$ Ложь

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Ложь

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x \leq - 3$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x \leq - 3$

Интервальное представление:

$(\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, - 3]$

Этап 8