Алгебра Примеры

$\frac{5}{x} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1

Упростим $\frac{5}{x} + \frac{6}{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{5}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{x} \cdot \frac{5}{5} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x \cdot 5$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{5}{x}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{x \cdot 5} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 x} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 \cdot 5 + 6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 + 6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.4.2

Добавим $25$ и $6$ .

$\frac{31}{5 x} > \frac{2}{3}$

Этап 2

Умножим обе части на $5 x$ .

$\frac{31}{5 x} (5 x) = \frac{2}{3} (5 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $\frac{31}{5 x} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{31}{5 x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Этап 3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$5 \frac{31}{5 (x)} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Этап 3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{31}{5 x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Этап 3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{31}{x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Этап 3.1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{31}{x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Этап 3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$31 = \frac{2}{3} (5 x)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{2}{3} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Объединим $5$ и $\frac{2}{3}$ .

$31 = \frac{5 \cdot 2}{3} x$

Этап 3.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$31 = \frac{10}{3} x$

Этап 3.2.1.3

Объединим $\frac{10}{3}$ и $x$ .

$31 = \frac{10 x}{3}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{10 x}{3} = 31$ .

$\frac{10 x}{3} = 31$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{10}$ .

$\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3} = \frac{3}{10} \cdot 31$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3} = \frac{3}{10} \cdot 31$

Этап 4.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{10} (10 x) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$\frac{1}{10} (10 (x)) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Этап 4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{10} (10 x) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Этап 4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{10} \cdot 31$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{3}{10} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Объединим $\frac{3}{10}$ и $31$ .

$x = \frac{3 \cdot 31}{10}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $3$ на $31$ .

$x = \frac{93}{10}$

Этап 5

Найдем область определения $\frac{31}{5 x} - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{31}{5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 x = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член $5 x = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $5 x = 0$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{5}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x = 0$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{93}{10}$

$x > \frac{93}{10}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{- 2} + \frac{6}{5 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 3.1$ не больше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{93}{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{93}{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{5} + \frac{6}{5 (5)} > \frac{2}{3}$

Этап 7.2.3

Левая часть $1.24$ больше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{93}{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{93}{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{5}{12} + \frac{6}{5 (12)} > \frac{2}{3}$

Этап 7.3.3

Левая часть $0.51\overline{6}$ не больше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{93}{10}$ Истина

$x > \frac{93}{10}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{93}{10}$ Истина

$x > \frac{93}{10}$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{93}{10}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < \frac{93}{10}$

Интервальное представление:

$(0, \frac{93}{10})$

Этап 10