Алгебра Примеры

$\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3 x (2 x)) = 3$

Этап 1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (3 \cdot (2 x \cdot x)) = 3$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 (x \cdot x))) = 3$

Этап 1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 x^{2})) = 3$

Этап 1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\ln (6 x^{2}) = 3$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (6 x^{2})} = e^{3}$

Этап 3

Перепишем $\ln (6 x^{2}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3} = 6 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $6 x^{2} = e^{3}$ .

$6 x^{2} = e^{3}$

Этап 4.2

Разделим каждый член $6 x^{2} = e^{3}$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $6 x^{2} = e^{3}$ на $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{3}}{6}$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$

Этап 4.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем $e^{2}$ за скобки.

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{2} e}}{\sqrt{6}}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$

Этап 4.4.3

Умножим $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 4.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 4.4.4.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 4.4.4.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 4.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 4.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 4.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6}$

Этап 4.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}, - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$ истинным.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Десятичная форма:

$x = 1.82964190 \dots$