Алгебра Примеры

$f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ в виде уравнения.

$y = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$ .

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{1} = x^{5}$

Этап 3.3.1.2

Разобьем дробь $\frac{y^{7} - 2}{3}$ на две дроби.

${(\frac{y^{7}}{3} + \frac{- 2}{3})}^{1} = x^{5}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3})}^{1} = x^{5}$

Этап 3.3.1.4

Упростим.

$\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3} = x^{5}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $\frac{2}{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{7}}{3} = x^{5} + \frac{2}{3}$

Этап 3.4.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Этап 3.4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Этап 3.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{7} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Этап 3.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Упростим $3 (x^{5} + \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

Этап 3.4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

Этап 3.4.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{7} = 3 x^{5} + 2$

Этап 3.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ обратной к $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 2}$

Этап 5.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} - 2 + 2}$

Этап 5.2.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $x^{7}$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Этап 5.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ в виде ${(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{(3 x^{5} + 2) - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.3.3

Упростим.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 2 - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.3.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 0}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.3.5

Добавим $3 x^{5}$ и $0$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.4.1.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Этап 5.3.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$