Алгебра Примеры

$\frac{32}{x^{2} + 3 x + 2} - 3 = \frac{x - 3}{x + 1}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{32}{(x + 1) (x + 2)} - 3 = \frac{x - 3}{x + 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 1) (x + 2), 1, x + 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x + 1, x + 2, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (x + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{32}{(x + 1) (x + 2)} - 3 = \frac{x - 3}{x + 1}$ умножим на $(x + 1) (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{32}{(x + 1) (x + 2)} - 3 = \frac{x - 3}{x + 1}$ на $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{32}{(x + 1) (x + 2)} ((x + 1) (x + 2)) - 3 ((x + 1) (x + 2)) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(x + 1) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{32}{(x + 1) (x + 2)} ((x + 1) (x + 2)) - 3 ((x + 1) (x + 2)) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$32 - 3 ((x + 1) (x + 2)) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$32 - 3 (x (x + 2) + 1 (x + 2)) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$32 - 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$32 - 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$32 - 3 (x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$32 - 3 (x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$32 - 3 (x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$32 - 3 (x^{2} + 2 x + x + 2) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$32 - 3 (x^{2} + 3 x + 2) = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$32 - 3 x^{2} - 3 (3 x) - 3 \cdot 2 = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$32 - 3 x^{2} - 9 x - 3 \cdot 2 = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$32 - 3 x^{2} - 9 x - 6 = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.2.2

Вычтем $6$ из $32$ .

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = \frac{x - 3}{x + 1} ((x + 1) (x + 2))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = (x - 3) (x + 2)$

Этап 3.3.2

Развернем $(x - 3) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = x (x + 2) - 3 (x + 2)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = x^{2} + 2 x - 3 x - 6$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 = x^{2} - x - 6$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 - x^{2} = - x - 6$

Этап 4.1.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x^{2} - 9 x + 26 - x^{2} + x = - 6$

Этап 4.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 9 x + 26 + x = - 6$

Этап 4.1.4

Добавим $- 9 x$ и $x$ .

$- 4 x^{2} - 8 x + 26 = - 6$

Этап 4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x^{2} - 8 x + 26 + 6 = 0$

Этап 4.3

Добавим $26$ и $6$ .

$- 4 x^{2} - 8 x + 32 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{2} - 8 x + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 8 x + 32 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 8 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 (2 x) + 32 = 0$

Этап 4.4.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $32$ .

$- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (x^{2}) - 4 (2 x)$ .

$- 4 (x^{2} + 2 x) - 4 \cdot - 8 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (x^{2} + 2 x) - 4 (- 8)$ .

$- 4 (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 4 ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.7

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$