Алгебра Примеры

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Этап 1

Упростим $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{1}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x - 3}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 1)} \leq 0$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 + x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{2 x - 3 + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Этап 2

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = - 1$

$x = 3$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 1, - 1, 3$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8.3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x - 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 3 = 0$

Этап 8.4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) - 3} \leq 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 0.\overline{476190}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(0) + 1} + \frac{1}{(0) - 3} \leq 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $0.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(2) + 1} + \frac{1}{(2) - 3} \leq 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 0.\overline{6}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(6) + 1} + \frac{1}{(6) - 3} \leq 0$

Этап 10.4.3

Левая часть $0.\overline{476190}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $1 \leq x < 3$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 1 or 1 \leq x < 3$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup [1, 3)$

Этап 13