Алгебра Примеры

$\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 x + 5}{4 x^{2} - 25}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 (x) + 5}{4 x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 (x) + 5 (1)}{4 x^{2} - 25}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (1)$ .

$\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 (x + 1)}{4 x^{2} - 25}$

Этап 1.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 (x + 1)}{{(2 x)}^{2} - 25}$

Этап 1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 (x + 1)}{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}$

Этап 1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 5$ .

$\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x + 5, 2 x - 5, (2 x + 5) (2 x - 5)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $2 x + 5$ является само значение $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) = 2 x + 5$

$(2 x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $2 x - 5$ является само значение $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) = 2 x - 5$

$(2 x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $2 x + 5$ является само значение $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) = 2 x + 5$

$(2 x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $2 x - 5$ является само значение $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) = 2 x - 5$

$(2 x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $2 x + 5, 2 x - 5, 2 x + 5, 2 x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 x + 5) (2 x - 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$ умножим на $(2 x + 5) (2 x - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{2 x + 5} + \frac{3}{2 x - 5} = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$ на $(2 x + 5) (2 x - 5)$ .

$\frac{2}{2 x + 5} ((2 x + 5) (2 x - 5)) + \frac{3}{2 x - 5} ((2 x + 5) (2 x - 5)) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 x + 5} ((2 x + 5) (2 x - 5)) + \frac{3}{2 x - 5} ((2 x + 5) (2 x - 5)) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (2 x - 5) + \frac{3}{2 x - 5} ((2 x + 5) (2 x - 5)) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 5 + \frac{3}{2 x - 5} ((2 x + 5) (2 x - 5)) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 5 + \frac{3}{2 x - 5} ((2 x + 5) (2 x - 5)) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $2$ на $- 5$ .

$4 x - 10 + \frac{3}{2 x - 5} ((2 x + 5) (2 x - 5)) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $2 x - 5$ из $(2 x + 5) (2 x - 5)$ .

$4 x - 10 + \frac{3}{2 x - 5} ((2 x - 5) (2 x + 5)) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$4 x - 10 + \frac{3}{2 x - 5} ((2 x - 5) (2 x + 5)) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$4 x - 10 + 3 (2 x + 5) = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 10 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5 = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$4 x - 10 + 6 x + 3 \cdot 5 = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $3$ на $5$ .

$4 x - 10 + 6 x + 15 = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $4 x$ и $6 x$ .

$10 x - 10 + 15 = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 10$ и $15$ .

$10 x + 5 = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(2 x + 5) (2 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$10 x + 5 = \frac{5 (x + 1)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} ((2 x + 5) (2 x - 5))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$10 x + 5 = 5 (x + 1)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 5 = 5 x + 5 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$10 x + 5 = 5 x + 5$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$10 x + 5 - 5 x = 5$

Этап 4.1.2

Вычтем $5 x$ из $10 x$ .

$5 x + 5 = 5$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$5 x = 5 - 5$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$5 x = 0$

Этап 4.3

Разделим каждый член $5 x = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $5 x = 0$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{5}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x = 0$