Алгебра Примеры

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}$

Этап 1

Добавим $\frac{1}{b}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, a - b, b$

Этап 2.2

Поскольку $a, a - b, b$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $a, a - b, b$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $a^{1}, b^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $a - b$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $b^{1}$ является само значение $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $a^{1}, b^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a \cdot b$

Этап 2.9

Умножим $a$ на $b$ .

$a b$

Этап 2.10

Множителем $a - b$ является само значение $a - b$ .

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $a - b$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a - b$

Этап 2.12

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$a b (a - b)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ умножим на $a b (a - b)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ на $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a b (a - b)) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $a$ из $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$b (a - b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$b a + b (- b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$b a - b \cdot b = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.2.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перенесем $b$ .

$b a - (b \cdot b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.2.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $a - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $a - b$ из $a b (a - b)$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $b$ из $a b (a - b)$ .

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$b a - b^{2} = a b + a (a - b)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$b a - b^{2} = a b + a \cdot a + a (- b)$

Этап 3.3.1.4

Умножим $a$ на $a$ .

$b a - b^{2} = a b + a^{2} + a (- b)$

Этап 3.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$b a - b^{2} = a b + a^{2} - a b$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $a b + a^{2} - a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $a b$ из $a b$ .

$b a - b^{2} = a^{2} + 0$

Этап 3.3.2.2

Добавим $a^{2}$ и $0$ .

$b a - b^{2} = a^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $a^{2}$ из обеих частей уравнения.

$b a - b^{2} - a^{2} = 0$

Этап 4.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = b$ и $c = - b^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Умножим на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.1.2

Вынесем множитель $b^{2}$ из $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.1.3

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1.1

Умножим на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.1.2

Вынесем множитель $b^{2}$ из $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.1.3

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.5

Вынесем множитель $b$ из $b + b i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.5.2

Вынесем множитель $b$ из $b^{1}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.5.3

Вынесем множитель $b$ из $b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.5.5.4

Вынесем множитель $b$ из $b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1.1

Умножим на $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.1.2

Вынесем множитель $b^{2}$ из $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.1.3

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1

Вынесем множитель $b$ из $b - b i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.5.1.2

Вынесем множитель $b$ из $b^{1}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.5.1.3

Вынесем множитель $b$ из $- b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.6.5.1.4

Вынесем множитель $b$ из $b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.6.5.2

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$