Алгебра Примеры

$\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{2 x} = 1$

Этап 1

Добавим $\sqrt{2 x}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{4 x + 1} = 1 + \sqrt{2 x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x + 1}$ в виде ${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$4 x + 1 = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$ .

$4 x + 1 = (1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{2 x}) + \sqrt{2 x} (1 + \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} (1 + \sqrt{2 x})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$4 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{2 x}$ на $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{2 x}$ на $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + 2 x$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $\sqrt{2 x}$ и $\sqrt{2 x}$ .

$4 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Этап 4

Решим относительно $2 \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x + 1$ .

$1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x + 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{2 x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x + 1 - 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{2 x} = 4 x + 1 - 1 - 2 x$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $4 x + 1 - 1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 \sqrt{2 x} = 4 x + 0 - 2 x$

Этап 4.2.3.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$2 \sqrt{2 x} = 4 x - 2 x$

Этап 4.2.4

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$2 \sqrt{2 x} = 2 x$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

${(2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $2^{\frac{1}{2}}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Применим правило умножения к $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$8 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.7

Упростим.

$8 x = {(2 x)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x = 2^{2} x^{2}$

Этап 6.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x = 4 x^{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x - 4 x^{2} = 0$

Этап 7.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$8 u - 4 u^{2} = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $4 u$ из $8 u - 4 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $4 u$ из $8 u$ .

$4 u (2) - 4 u^{2} = 0$

Этап 7.2.2.2

Вынесем множитель $4 u$ из $- 4 u^{2}$ .

$4 u (2) + 4 u (- u) = 0$

Этап 7.2.2.3

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u (2) + 4 u (- u)$ .

$4 u (2 - u) = 0$

Этап 7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$4 x (2 - x) = 0$

Этап 7.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 7.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 7.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 7.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 7.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 2$