Алгебра Примеры

$f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Этап 1

Запишем $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ в виде уравнения.

$y = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 12 \cdot 11^{3 y} + 13$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$ .

$12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$

Этап 3.2

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$

Этап 3.3

Разделим каждый член $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ на $12$ .

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $11^{3 y}$ на $1$ .

$11^{3 y} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$11^{3 y} = \frac{x}{12} - \frac{13}{12}$

Этап 3.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (11^{3 y}) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Этап 3.5

Развернем $\ln (11^{3 y})$ , вынося $3 y$ из логарифма.

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Этап 3.6

Разделим каждый член $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ на $3 \ln (11)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ на $3 \ln (11)$ .

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 3.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель $\ln (11)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 3.6.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ обратной к $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 5.2.3.2

Объединим противоположные члены в $12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вычтем $13$ из $13$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 0}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 5.2.3.2.2

Добавим $12 \cdot 11^{3 x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Этап 5.2.3.3.2

Разделим $11^{3 x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{3 \ln (11)}$

Этап 5.2.4

Упростим $3 \ln (11)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (11^{3})}$

Этап 5.2.5

Возведем $11$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (1331)}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Этап 5.3.3.2

Упростим $3 \ln (11)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (11^{3})})} + 13$

Этап 5.3.3.3

Возведем $11$ в степень $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)})} + 13$

Этап 5.3.3.4

Умножим $3 \frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{3 \ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}} + 13$

Этап 5.3.3.4.2

Упростим $3 \ln (\frac{x - 13}{12})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln ({(\frac{x - 13}{12})}^{3})}{\ln (1331)}} + 13$

Этап 5.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Применим правило умножения к $\frac{x - 13}{12}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{12^{3}})}{\ln (1331)}} + 13$

Этап 5.3.3.5.2

Возведем $12$ в степень $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{1728})}{\ln (1331)}} + 13$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ — обратная к $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$