Алгебра Примеры

$f (x) = - x^{2}$ $g (x) = - x^{2} + 6$

Этап 1

Построим график $f (x) = - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Составим полный квадрат для $- x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 0$

Этап 1.1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.1.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Этап 1.1.1.1.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot 0$ в виде $- 0$ .

$d = - 0$

Этап 1.1.1.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0$

Этап 1.1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 4}$

Этап 1.1.1.1.4.2.1.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$e = 0 - 0$

Этап 1.1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 0 + 0$

Этап 1.1.1.1.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$e = 0$

Этап 1.1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- x^{2}$ .

$- x^{2}$

Этап 1.1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - x^{2}$

Этап 1.1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 1.1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Этап 1.1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 1.1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - \frac{1}{4})$

Этап 1.1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 1.1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{1}{4}$

Этап 1.1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, - \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, - \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

Этап 1.2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2}$

Этап 1.2.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2}$

Этап 1.2.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - 1$

Этап 1.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 1.2.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 1.2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2}$

Этап 1.2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.5.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 2) = - 4$

Этап 1.2.5.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 1.2.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 1.2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - {(1)}^{2}$

Этап 1.2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1$

Этап 1.2.8.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 1.2.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 1.2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2}$

Этап 1.2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.11.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = - 4$

Этап 1.2.11.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 1.2.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 1.2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Этап 1.3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, - \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, - \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Этап 2

Построим график $g (x) = - x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 6$

Этап 2.1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.1.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Этап 2.1.1.1.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot 0$ в виде $- 0$ .

$d = - 0$

Этап 2.1.1.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0$

Этап 2.1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 6 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 6 - \frac{0}{- 4}$

Этап 2.1.1.1.4.2.1.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$e = 6 - 0$

Этап 2.1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 6 + 0$

Этап 2.1.1.1.4.2.2

Добавим $6$ и $0$ .

$e = 6$

Этап 2.1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 0)}^{2} + 6$ .

$- {(x + 0)}^{2} + 6$

Этап 2.1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x + 0)}^{2} + 6$

Этап 2.1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 0$

$k = 6$

Этап 2.1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 2.1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 6)$

Этап 2.1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 2.1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{23}{4})$

Этап 2.1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 2.1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

$y = k - p$

Этап 2.1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{25}{4}$

Этап 2.1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 6)$

Фокус: $(0, \frac{23}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{25}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 6)$

Фокус: $(0, \frac{23}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{25}{4}$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 6$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 6$

Этап 2.2.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 6$

Этап 2.2.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 6$

Этап 2.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 6$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f (- 1) = 5$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 2.2.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $5$ .

$y = 5$

Этап 2.2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} + 6$

Этап 2.2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 + 6$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 2) = - 4 + 6$

Этап 2.2.5.2

Добавим $- 4$ и $6$ .

$f (- 2) = 2$

Этап 2.2.5.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.2.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $2$ .

$y = 2$

Этап 2.2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - {(1)}^{2} + 6$

Этап 2.2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6$

Этап 2.2.8.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + 6$

Этап 2.2.8.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f (1) = 5$

Этап 2.2.8.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 2.2.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $5$ .

$y = 5$

Этап 2.2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 6$

Этап 2.2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 6$

Этап 2.2.11.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = - 4 + 6$

Этап 2.2.11.2

Добавим $- 4$ и $6$ .

$f (2) = 2$

Этап 2.2.11.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.2.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $2$ .

$y = 2$

Этап 2.2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Этап 2.3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 6)$

Фокус: $(0, \frac{23}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 6)$

Фокус: $(0, \frac{23}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Этап 3

Построим каждый график в одной системе координат.

$f (x) = - x^{2}$

$g (x) = - x^{2} + 6$

Этап 4