Алгебра Примеры

$\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 2} = \frac{4 x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 2} = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 2, (x - 1) (x + 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 1, x + 2, x - 1, x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 2} = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)}$ умножим на $(x - 1) (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 2} = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)}$ на $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{x}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) - \frac{2}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) - \frac{2}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x + 2) - \frac{2}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 2 - \frac{2}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - \frac{2}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - \frac{2}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x + 2}$ в числитель.

$x^{2} + 2 x + \frac{- 2}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 1) (x + 2)$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{- 2}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x + \frac{- 2}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 2 x - 2 (x - 1) = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1 = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} + 2 x - 2 x + 2 = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 2 x - 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$x^{2} + 0 + 2 = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} + 2 = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 1) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 = \frac{4 x - 1}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 2 = 4 x - 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 - 4 x = - 1$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 2 - 4 x + 1 = 0$

Этап 4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Этап 4.4

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x - 1) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.7

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 3, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 2} = \frac{4 x - 1}{x^{2} + x - 2}$ истинным.

$x = 3$