Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Этап 1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{2}{x^{2} + x}$ на $\frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - (\frac{2}{x^{2} + x} \cdot \frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}) - \frac{3}{x + 3}$

Этап 1.4

Умножим $\frac{2}{x^{2} + x}$ на $\frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3}{x + 3}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{3}{x + 3}$ на $\frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - (\frac{3}{x + 3} \cdot \frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)})$

Этап 1.6

Умножим $\frac{3}{x + 3}$ на $\frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Этап 1.7

Изменим порядок множителей в $x ((x^{2} + x) (x + 3))$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Этап 1.8

Изменим порядок множителей в $(x^{2} + x) (x (x + 3))$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Этап 1.9

Изменим порядок множителей в $(x + 3) (x (x^{2} + x))$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(x^{2} + x) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (x + 3) + x (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + x (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + x^{2} + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.2.1.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + x^{2} + 3 x - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.2.2

Добавим $3 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x \cdot x + x \cdot 3) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x^{2} + x \cdot 3) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x^{2} + 3 \cdot x) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 2 (3 x) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.7

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x \cdot x^{2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.9

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{1} x^{2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{1 + 2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.9.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{3} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.10

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{3} + x^{2})}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.2.11

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 x^{3} - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $3 x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3.3

Вычтем $3 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 6 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3.4

Вычтем $6 x$ из $3 x$ .

$\frac{- 2 x^{3} - x^{2} - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3.5

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{3} - x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{3}$ .

$\frac{x (- 2 x^{2}) - x^{2} - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x^{2}) + x (- x) - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3.5.3

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$\frac{x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 3}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3.5.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 2 x^{2}) + x (- x)$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x) + x \cdot - 3}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 2.3.5.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 2 x^{2} - x) + x \cdot - 3$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x)}$

Этап 3.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x^{1})}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x \cdot 1)}$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x (x + 1))}$

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) x (x + 1)}$

Этап 3.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1} x (x + 3) (x + 1)}$

Этап 3.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1} x^{1} (x + 3) (x + 1)}$

Этап 3.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1 + 1} (x + 3) (x + 1)}$

Этап 3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{2} (x + 3) (x + 1)}$

Этап 4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x ((x (x + 3)) (x + 1))}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x ((x (x + 3)) (x + 1))}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{2} - x - 3}{(x (x + 3)) (x + 1)}$

Этап 5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - x - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Этап 6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (x) - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Этап 7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x) - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Этап 8

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x) - 1 (3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Этап 9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} + x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x + 3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- (2 x^{2} + x + 3)$ в виде $- 1 (2 x^{2} + x + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + x + 3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Этап 10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x^{2} + x + 3}{x (x + 3) (x + 1)}$