Алгебра Примеры

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}$ .

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$ .

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x^{2} + x - 6) (x + 1) (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$ на $\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}$ .

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ на $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$ .

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))} - \frac{(x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))$ .

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)} - \frac{(x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x + 1) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 1) (x (x + 3) + 1 (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + x + 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.2.2

Добавим $3 x$ и $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 4 x + 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.3

Развернем $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{3} + 4 x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.5

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.4.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.5

Вычтем $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.6

Вычтем $4 x$ из $3 x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 + (- x - - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.8

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 + (- x + 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.9

Развернем $(- x + 2) (x^{2} + x - 6)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.10.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.10.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.10.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.10.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.10.3

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.10.4

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.11

Добавим $- x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} + x^{2} + 6 x + 2 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.12

Добавим $6 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.13

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} - x - 3 + 0 + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.14

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{3 x^{2} - x - 3 + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.15

Добавим $3 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - x - 3 + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.16

Добавим $- x$ и $8 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 3 - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.17

Вычтем $12$ из $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.18

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.18.1.2

Запишем $7$ как $- 5$ плюс $12$

$\frac{4 x^{2} + (- 5 + 12) x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.18.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} - 5 x + 12 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.18.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 x^{2} - 5 x) + 12 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.18.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (4 x - 5) + 3 (4 x - 5)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.18.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 5$ .

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

Этап 6.19

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 6.19.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) ((x - 2) (x + 3))}$

Этап 6.19.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2) (x + 3)}$

Этап 6.20

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.20.1

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) ({(x + 3)}^{1} (x + 3)) (x - 2)}$

Этап 6.20.2

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}) (x - 2)}$

Этап 6.20.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{1 + 1} (x - 2)}$

Этап 6.20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$

Этап 6.21

Сократим выражение $\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.21.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $(4 x - 5) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$

Этап 6.21.2

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 3) (((x + 1) (x + 3)) (x - 2))}$

Этап 6.21.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 3) (((x + 1) (x + 3)) (x - 2))}$

Этап 6.21.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x - 5}{((x + 1) (x + 3)) (x - 2)}$