Алгебра Примеры

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ on the domain $x > 0$

Этап 1

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

$(- \infty, \infty)$

Этап 1.2

Преобразуем $(- \infty, \infty)$ в неравенство.

$- \infty < y < \infty$

Этап 2

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем переменные местами.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Этап 2.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $- \frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Упростим ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.1.1.2

Упростим.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 2.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.4.2

Разделим каждый член $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Разделим каждый член $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 2.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 2.2.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 2.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.2.4.2.3.2

Объединим.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Этап 2.2.4.2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.3.3.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Этап 2.2.4.2.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.4.4

Разделим каждый член $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.1

Разделим каждый член $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 2.2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 2.2.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 2.2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.2.4.4.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \infty < x < \infty$

Этап 4