Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2}} - 5 x = 6$

Этап 1

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{x^{2}} = 6 + 5 x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2}}}^{2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{2}}$ .

${(x^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Этап 3.2

Разделим $2$ на $2$ .

${(x^{1})}^{2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{1 \cdot 2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим ${(6 + 5 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перепишем ${(6 + 5 x)}^{2}$ в виде $(6 + 5 x) (6 + 5 x)$ .

$x^{2} = (6 + 5 x) (6 + 5 x)$

Этап 3.4.1.2

Развернем $(6 + 5 x) (6 + 5 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 6 (6 + 5 x) + 5 x (6 + 5 x)$

Этап 3.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 6 \cdot 6 + 6 (5 x) + 5 x (6 + 5 x)$

Этап 3.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 6 \cdot 6 + 6 (5 x) + 5 x \cdot 6 + 5 x (5 x)$

Этап 3.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$x^{2} = 36 + 6 (5 x) + 5 x \cdot 6 + 5 x (5 x)$

Этап 3.4.1.3.1.2

Умножим $5$ на $6$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 5 x \cdot 6 + 5 x (5 x)$

Этап 3.4.1.3.1.3

Умножим $6$ на $5$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 5 x (5 x)$

Этап 3.4.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 5 \cdot 5 x \cdot x$

Этап 3.4.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 5 \cdot 5 (x \cdot x)$

Этап 3.4.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 5 \cdot 5 x^{2}$

Этап 3.4.1.3.1.6

Умножим $5$ на $5$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 25 x^{2}$

Этап 3.4.1.3.2

Добавим $30 x$ и $30 x$ .

$x^{2} = 36 + 60 x + 25 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$36 + 60 x + 25 x^{2} = x^{2}$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$36 + 60 x + 25 x^{2} - x^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $25 x^{2}$ .

$36 + 60 x + 24 x^{2} = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $12$ из $36 + 60 x + 24 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $12$ из $36$ .

$12 (3) + 60 x + 24 x^{2} = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $12$ из $60 x$ .

$12 (3) + 12 (5 x) + 24 x^{2} = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $12$ из $24 x^{2}$ .

$12 (3) + 12 (5 x) + 12 (2 x^{2}) = 0$

Этап 4.3.1.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (3) + 12 (5 x)$ .

$12 (3 + 5 x) + 12 (2 x^{2}) = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 + 5 x) + 12 (2 x^{2})$ .

$12 (3 + 5 x + 2 x^{2}) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Изменим порядок членов.

$12 (2 x^{2} + 5 x + 3) = 0$

Этап 4.3.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$12 (2 x^{2} + 5 (x) + 3) = 0$

Этап 4.3.2.1.2.2

Запишем $5$ как $2$ плюс $3$

$12 (2 x^{2} + (2 + 3) x + 3) = 0$

Этап 4.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3) = 0$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$12 ((2 x^{2} + 2 x) + 3 x + 3) = 0$

Этап 4.3.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$12 (2 x (x + 1) + 3 (x + 1)) = 0$

Этап 4.3.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$12 ((x + 1) (2 x + 3)) = 0$

Этап 4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (x + 1) (2 x + 3) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.6

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 (x + 1) (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = - 1, - \frac{3}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x^{2}} - 5 x = 6$ истинным.

$x = - 1$