Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 3 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 7

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 3$

$x = 4$

$x = 2, - 2$

Этап 10

Объединим решения.

$x = - 3, 4, 2, - 2$

Этап 11

Найдем область определения $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Этап 11.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 11.2.2

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 11.2.2.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 11.2.2.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 11.2.3

Приравняем $x^{2} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Приравняем $x^{2} - 4$ к $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 11.2.3.2

Решим $x^{2} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 11.2.3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 11.2.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 11.2.3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 11.2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 11.2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 11.2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 11.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$ верно.

$x = 4, 2, - 2$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) + 3}{{((- 6) - 4)}^{2} ({(- 6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Этап 13.1.3

Левая часть $- 0.0009375$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2.5$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $- 2.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 2.5) + 3}{{((- 2.5) - 4)}^{2} ({(- 2.5)}^{2} - 4)} \leq 0$

Этап 13.2.3

Левая часть $0.00525969$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 3}{{((0) - 4)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)} \leq 0$

Этап 13.3.3

Левая часть $- 0.046875$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.4

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 13.4.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{(3) + 3}{{((3) - 4)}^{2} ({(3)}^{2} - 4)} \leq 0$

Этап 13.4.3

Левая часть $1.2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.5

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 13.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) + 3}{{((6) - 4)}^{2} ({(6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Этап 13.5.3

Левая часть $0.0703125$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Ложь

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Ложь

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $- 2 < x < 2$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 3 or - 2 < x < 2$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3] \cup (- 2, 2)$

Этап 16