Алгебра Примеры

$\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) = 1$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{2}{3} x - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

Этап 5

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 6

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 7

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 7.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 7.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 7.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 7.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 2 π - 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 2 π$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{2 x}{3} = 2 π + \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 9.2.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{4 π + π}{2}$

Этап 9.2.5.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{5 π}{2}$

Этап 9.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Этап 9.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Упростим $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Этап 9.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Этап 9.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Этап 9.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Этап 9.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Этап 9.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{5 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{2 \cdot 2}$

Этап 9.4.2.1.2

Умножим $5$ на $3$ .

$x = \frac{15 π}{2 \cdot 2}$

Этап 9.4.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Этап 10

Найдем период $\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $\frac{2}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Этап 10.3

$\frac{2}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{6}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Этап 10.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{2}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Этап 10.5.2

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{3}{2}$

Этап 10.5.3

Перепишем это выражение.

$π \cdot 3$

Этап 10.6

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 11

Период функции $\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$ равен $3 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $3 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n, \frac{15 π}{4} + 3 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n$ , для любого целого $n$