Алгебра Примеры

$y = (- 10 + 5 s) (- 9 + 9 s)$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $(- 10 + 5 x) (- 9 + 9 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Развернем $(- 10 + 5 x) (- 9 + 9 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 10 (- 9 + 9 x) + 5 x (- 9 + 9 x)$

Этап 1.1.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 10 \cdot - 9 - 10 (9 x) + 5 x (- 9 + 9 x)$

Этап 1.1.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 10 \cdot - 9 - 10 (9 x) + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Этап 1.1.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.2.1.1

Умножим $- 10$ на $- 9$ .

$90 - 10 (9 x) + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Этап 1.1.1.1.2.1.2

Умножим $9$ на $- 10$ .

$90 - 90 x + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Этап 1.1.1.1.2.1.3

Умножим $- 9$ на $5$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 x (9 x)$

Этап 1.1.1.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 x \cdot x$

Этап 1.1.1.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 (x \cdot x)$

Этап 1.1.1.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 x^{2}$

Этап 1.1.1.1.2.1.6

Умножим $5$ на $9$ .

$90 - 90 x - 45 x + 45 x^{2}$

Этап 1.1.1.1.2.2

Вычтем $45 x$ из $- 90 x$ .

$90 - 135 x + 45 x^{2}$

Этап 1.1.1.1.3

Перенесем $90$ .

$- 135 x + 45 x^{2} + 90$

Этап 1.1.1.1.4

Изменим порядок $- 135 x$ и $45 x^{2}$ .

$45 x^{2} - 135 x + 90$

Этап 1.1.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 45$

$b = - 135$

$c = 90$

Этап 1.1.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 135}{2 \cdot 45}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $- 135$ и $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Вынесем множитель $45$ из $- 135$ .

$d = \frac{45 \cdot - 3}{2 \cdot 45}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $45$ из $2 \cdot 45$ .

$d = \frac{45 \cdot - 3}{45 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{45 \cdot - 3}{45 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{2}$

Этап 1.1.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 90 - \frac{{(- 135)}^{2}}{4 \cdot 45}$

Этап 1.1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.1

Возведем $- 135$ в степень $2$ .

$e = 90 - \frac{18225}{4 \cdot 45}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $45$ .

$e = 90 - \frac{18225}{180}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3

Сократим общий множитель $18225$ и $180$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.3.1

Вынесем множитель $45$ из $18225$ .

$e = 90 - \frac{45 (405)}{180}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $45$ из $180$ .

$e = 90 - \frac{45 \cdot 405}{45 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 90 - \frac{45 \cdot 405}{45 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 90 - \frac{405}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.2

Чтобы записать $90$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$e = 90 \cdot \frac{4}{4} - \frac{405}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.3

Объединим $90$ и $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{90 \cdot 4}{4} - \frac{405}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{90 \cdot 4 - 405}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.5.1

Умножим $90$ на $4$ .

$e = \frac{360 - 405}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.5.2

Вычтем $405$ из $360$ .

$e = \frac{- 45}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{45}{4}$

Этап 1.1.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

$45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 45$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{45}{4}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 45}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $45$ .

$\frac{1}{180}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1013}{90}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Фокус: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{2}$

Директриса: $y = - \frac{1013}{90}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Фокус: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{2}$

Директриса: $y = - \frac{1013}{90}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = (- 10 + 5 (1)) (- 9 + 9 (1))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $5$ на $1$ .

$f (1) = (- 10 + 5) (- 9 + 9 (1))$

Этап 2.2.2

Добавим $- 10$ и $5$ .

$f (1) = - 5 (- 9 + 9 (1))$

Этап 2.2.3

Умножим $9$ на $1$ .

$f (1) = - 5 (- 9 + 9)$

Этап 2.2.4

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (1) = - 5 \cdot 0$

Этап 2.2.5

Умножим $- 5$ на $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{45}{4} \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Фокус: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{2}$

Директриса: $y = - \frac{1013}{90}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{45}{4} \end{array}$

Этап 4