Алгебра Примеры

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, 2 - x, (x + 2) (x - 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $2 - x$ является само значение $2 - x$ .

$(2 - x) = 2 - x$

$(2 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x + 2, 2 - x, x + 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (2 - x) (x - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$ умножим на $(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$ на $(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ .

$\frac{x}{x + 2} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ .

$\frac{x}{x + 2} ((x + 2) ((2 - x) (x - 2))) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x + 2} ((x + 2) ((2 - x) (x - 2))) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x ((2 - x) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$x ((- 1 (- 2) - x) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$x ((- 1 (- 2) - (x)) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (x)$ .

$x (- 1 (- 2 + x) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.5

Изменим порядок членов.

$x (- 1 (x - 2) (x - 2)) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.6

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$x (- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.7

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$x (- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x (- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$x (- 1 {(x - 2)}^{2}) - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 2)}^{2} - \frac{2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.11

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{2 - x}$ в числитель.

$- x {(x - 2)}^{2} + \frac{- 2}{2 - x} ((x + 2) (2 - x) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.11.2

Вынесем множитель $2 - x$ из $(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ .

$- x {(x - 2)}^{2} + \frac{- 2}{2 - x} ((2 - x) ((x + 2) (x - 2))) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 2)}^{2} + \frac{- 2}{2 - x} ((2 - x) ((x + 2) (x - 2))) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.12

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x (x - 2) + 2 (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.13

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.13.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.13.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.13.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x \cdot x + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.14.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x^{2} + 2 \cdot - 2) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.14.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 (x^{2} - 4) = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4 = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.2.1.16

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (2 - x) (x - 2)$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (2 - x))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = \frac{3 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (2 - x))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = (3 x + 2) (2 - x)$

Этап 3.3.2

Развернем $(3 x + 2) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 3 x (2 - x) + 2 (2 - x)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 2 (2 - x)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x + 3 x (- x) + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x + 3 \cdot - 1 x \cdot x + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x + 3 \cdot - 1 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

Этап 3.3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x - 3 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

Этап 3.3.3.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x - 3 x^{2} + 4 + 2 (- x)$

Этап 3.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 6 x - 3 x^{2} + 4 - 2 x$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $2 x$ из $6 x$ .

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 = 4 x - 3 x^{2} + 4$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 - 4 x = - 3 x^{2} + 4$

Этап 4.1.2

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- x {(x - 2)}^{2} - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$- x ((x - 2) (x - 2)) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$- x (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x^{2} - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2 + 1} - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x^{3} - x (- 4 x) - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{3} - 1 \cdot - 4 x \cdot x - x \cdot 4 - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1.1

Перенесем $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 4 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.4

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$- x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 8 - 4 x + 3 x^{2} = 4$

Этап 4.1.5

Добавим $2 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$- x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 8 - 4 x = 4$

Этап 4.1.6

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 8 = 4$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 8 - 4 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $4$ из $8$ .

$- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разложим $- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 4.4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 4.4.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 4.4.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 4.4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 4.4.1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 4.4.1.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$- 1 + 5 - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 4.4.1.3.6

Добавим $- 1$ и $5$ .

$4 - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 4.4.1.3.7

Умножим $- 8$ на $1$ .

$4 - 8 + 4$

Этап 4.4.1.3.8

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4 + 4$

Этап 4.4.1.3.9

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 4.4.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4}{x - 1}$

Этап 4.4.1.5

Разделим $- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$4$

Этап 4.4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$

Этап 4.4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 4.4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 4.4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 4.4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 4.4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 4.4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 4.4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 4 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 4.4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$

Этап 4.4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$

Этап 4.4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$

Этап 4.4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Этап 4.4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x + 4$ .

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Этап 4.4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	-	$4$
										$0$

Этап 4.4.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 4 x - 4$

Этап 4.4.1.6

Запишем $- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (- x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 4 (x) - 4) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.2

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$(x - 1) (- x^{2} + (2 + 2) x - 4) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4) = 0$

Этап 4.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4) = 0$

Этап 4.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) (x (- x + 2) - 2 (- x + 2)) = 0$

Этап 4.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$(x - 1) ((- x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (- x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.7

Приравняем $- x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $- x + 2$ к $0$ .

$- x + 2 = 0$

Этап 4.7.2

Решим $- x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 4.7.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.7.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (- x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 1, 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} = \frac{3 x + 2}{x^{2} - 4}$ истинным.

$x = 1$